Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 6 из 18)

Лемма. Пусть

- минимальный -локальный спутник формации , где . Тогда - минимальный -локальный спутник формации

Доказательство. Пусть

.

И пусть

, а - минимальный -локальный спутник формации . Тогда, если , то для любого имеет место . Значит, . Понятно также, что . Пусть . Тогда найдется такое , что . Значит, согласно теореме , имеет место

Лемма доказана.

Решетка

-насыщенных формаций.

Результаты и методы общей теории решеток широко используются в различных областях современной математики. Наиболее широк диапазон применения этой теории в общей алгебре. Применение решеточных подходов в теории классов групп было впервые осуществлено в рамках теории многообразий групп. Позднее А.Н. Скибой было показано , что привлечение решеточных конструкций весьма полезно и при изучении формаций групп. Следует отметить, что существенную роль играет тот факт, что решетки всех формаций и всех насыщенных формаций модулярны . Эти результаты позволили широко использовать элементы общей теории решеток в вопросах изучения и классификации формаций групп. Широкий спектр применений решеточных конструкций при исследовании формаций представлен в монографии А.Н. Скибы , где, в частности, показано, что привлечение общей теории решеток при исследовании классов групп позволяет не только с успехом решать открытые вопросы, но и значительно упрощать доказательства многих уже известных теорем. Таким образом, дальнейшее развитие решеточных методов в теории классов алгебраических систем является актуальной задачей.

Напомним, что решеткой называется частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует как наибольший, так и наименьший элементы.

Через

обозначают множество всех -насыщенных формаций.

Если две

-насыщенные формации и такие, что , то полагают, что . Относительно вхождения формаций друг в друга множество -насыщенных формаций является частично упорядоченным.

Для любых двух

-насыщенных формаций и полагают

Определение.Непустую совокупность формаций

называют полной решеткой формаций, если пересечение любой совокупности формаций из снова принадлежит и во множестве имеется такая формация , что для любой формации .

Лемма. Частично упорядоченное множество с наибольшим элементом является полной решеткой, если в нем любая непустая совокупность элементов обладает нижней гранью.

Лемма. Множество всех

-насыщенных формаций образует полную решетку.

Доказательство. Частичным порядком

на является вхождение формаций друг в друга. Множество всех -насыщенных формаций замкнуто относительно операций и , так как объединение и пересечение -насыщенных формаций снова является -насыщенной формацией. Таким образом, является решеткой.

В качестве наибольшего элемента в

выступает - формация всех групп. Так как пересечение любой совокупности -насыщенных формаций снова будет -насыщенной формацией, то по лемме - полная решетка. Лемма доказана.

Лемма. Пусть

- монолитическая группа с неабелевым монолитом, - некоторая полуформация и . Тогда .

Лемма. Пусть

- полуформация и . Тогда если , то , где

Лемма. Пусть

- такой внутренний -локальный спутник формации , что , где . Тогда где .

Определение.Пусть L - полная решетка и

. Элемент называют компактным в , если из условия следует, что для некоторого конечного подмножества , т.е., иначе - компактный элемент в , если из любого его покрытия можно выделить конечное подпокрытие.