Определение.Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов.
Определение.Атомом решетки
называют наименьший ненулевой элемент, т.е. , то в не существует такого, что .Определение.Пусть
- произвольный -локальный спутник. Символом обозначают класс группЕсли для формации
выполнено равенство , то говорят, что - -локальный -спутник формации .Минимальным
-локальным -спутником формации называют ее -локальный -спутник со следующими значениями:Лемма. Пусть
- минимальный -локальный -спутник формации , . Тогда включение имеет место в том и только том случае, когда .Лемма. Пусть
- минимальный -локальный -спутник формации , . Тогда - минимальный -локальный -спутник формации .Теорема. Решетка всех
-насыщенных формаций является алгебраической.Доказательство. По лемме
является полной решеткой. Поскольку каждая -насыщенная формация, очевидно, является решеточным объединением своих однопорожденных -насыщенных формаций, то для доказательства теоремы достаточно показать, что каждая однопорожденная -насыщенная формация является компактным элементом в .Пусть
- некоторая однопорожденная -насыщенная формация, - -насыщенная формация, содержащая , где - -насыщенная формация, .Пусть
- минимальный -локальный -спутник формации , - минимальный -локальный -спутник формации , - минимальный -локальный -спутник формации . Согласно определению минимального -локального -спутника формации для всех иВвиду леммы
. Согласно леммеВвиду алгебраичности решетки всех формаций (см. ) для каждого фиксированного
существует конечное число индексов ( ) таких, чтоИ существует набор индексов
,..., таких, чтоТогда
. Таким образомИтак, решетка всех
-насыщенных формаций алгебраична, и ее компактными элементами являются однопорожденные -насыщенные формации. Теорема доказана.Следствие 1. Решетка всех -насыщенных формаций является алгебраической.
Следствие 2. Решетка всех насыщенных формаций является алгебраической.
Определение.Решетка называется модулярной, если для любых элементов
, , решетки таких, что выполняется .