Смекни!
smekni.com

Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 7 из 18)

Определение.Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов.

Определение.Атомом решетки

называют наименьший ненулевой элемент, т.е.
, то в
не существует
такого, что
.

Определение.Пусть

- произвольный
-локальный спутник. Символом
обозначают класс групп

Если для формации

выполнено равенство
, то говорят, что
-
-локальный
-спутник формации
.

Минимальным

-локальным
-спутником формации
называют ее
-локальный
-спутник
со следующими значениями:

Лемма. Пусть

- минимальный
-локальный
-спутник формации
,
. Тогда включение
имеет место в том и только том случае, когда
.

Лемма. Пусть

- минимальный
-локальный
-спутник формации
,
. Тогда
- минимальный
-локальный
-спутник формации
.

Теорема. Решетка всех

-насыщенных формаций
является алгебраической.

Доказательство. По лемме

является полной решеткой. Поскольку каждая
-насыщенная формация, очевидно, является решеточным объединением своих однопорожденных
-насыщенных формаций, то для доказательства теоремы достаточно показать, что каждая однопорожденная
-насыщенная формация
является компактным элементом в
.

Пусть

- некоторая однопорожденная
-насыщенная формация,
-
-насыщенная формация, содержащая
, где
-
-насыщенная формация,
.

Пусть

- минимальный
-локальный
-спутник формации
,
- минимальный
-локальный
-спутник формации
,
- минимальный
-локальный
-спутник формации
. Согласно определению минимального
-локального
-спутника формации
для всех
и

Ввиду леммы

. Согласно лемме

Ввиду алгебраичности решетки всех формаций (см. ) для каждого фиксированного

существует конечное число индексов
(
) таких, что

И существует набор индексов

,...,
таких, что

Тогда

. Таким образом

Итак, решетка всех

-насыщенных формаций алгебраична, и ее компактными элементами являются однопорожденные
-насыщенные формации. Теорема доказана.

Следствие 1. Решетка всех

-насыщенных формаций является алгебраической.

Следствие 2. Решетка всех насыщенных формаций является алгебраической.

Определение.Решетка называется модулярной, если для любых элементов

,
,
решетки таких, что
выполняется
.