Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 8 из 18)

Теорема. Решетка всех

-насыщенных формаций модулярна.

Доказательство. Пусть

, , - -насыщенные формации и кроме этого . Покажем, что

Рассмотрим такие

-локальные спутники , что и при всех , где . Ввиду теоремы справедливо равенство . Пусть . По лемме имеем

Из леммы вытекает, что

- внутренний -локальный спутник формации .

Понятно, что

при всех . Значит, при всех имеет место равенство

Следовательно,

. Но - внутренний -локальный спутник формации . Значит, согласно теореме , получаем откуда следует требуемое равенство. Теорема доказана.

Следствие 1. всех

-насыщенных формаций модулярна.

Следствие 2. всех насыщенных формаций модулярна.

Лемма. Подрешетка модулярной решетки модулярна.

Решетка внутренних

-локальных спутников формации

Пусть

- некоторая -насыщенная формация. Обозначим через - множество всех внутренних -локальных спутников формации .

Теорема. Пусть

непустая -насыщенная формация. Тогда имеют место следующие утверждения:

1) множество

c операциями и образует полную решетку;

2) решетка

является модулярной.

Д о к а з а т е л ь с т в о.1) Относительно операции

множество является частично упорядоченным. Кроме этого для любых двух -локальных спутников и по лемме существуют такие -локальные спутники и , что и , т.е. для любых двух -локальных спутников из существует как наибольший, так и наименьший элементы. Следовательно, является решеткой.

Покажем, что

является полной решеткой. Так как формация -насыщена, то по теореме у формации имеется такой -локальный спутник , что и для всех . Этот -локальный спутник является каноническим. По определению канонического спутника получаем, что для любого выполнено включение .

Применяя лемму , получаем, что для любой непустой совокупности внутренних

-локальных спутников формации из существует наименьший элемент, равный пересечению этих -локальных спутников. При этом этот элемент является точной нижней гранью. По лемме получаем, что является полной решеткой.

2) Пусть

- внутренние -локальные спутники формации , причем , т.е. для любого .

Покажем, что выполнено

Возьмем произвольное из . Тогда , и - являются некоторыми формациями, причем все эти формации содержатся в формации . По теореме и лемме получаем, что для любого , в силу модулярности решетки всех формаций, выполнено равенство

Но тогда

Таким образом,

является модулярной решеткой. Теорема доказана.