Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 9 из 18)

2.

-Насыщенные формации с ограниченным

-дефектом

Пусть

и - некоторые -насыщенные формации, причем формация хорошо изучена. Тогда у нас имеется некоторая информация и относительно формации , поскольку в ней содержится часть формации , а именно . Так, например, при изучении насыщенной формации часто используют ее подформацию , где - некоторая формация классического типа. Напомним, что формация называется формацией классического типа, если она имеет такой локальный спутник, все неабелевы значения которого насыщены. Однако, в общем случае без дополнительных ограничений на "хорошо известную часть" формации что-либо сказать о самой формации трудно. В качестве одного из возможных ограничений на можно, например, рассматривать ограничения, накладываемые на решетку -насыщенных формаций , заключенных между и ( -насыщенная формация принадлежит тогда и только тогда, когда ). Очевидно, что - это наименьший, а - наибольший элементы -насыщенной решетки

Понятие

-дефекта

Определение.Для любых двух

-насыщенных формаций и , где , через обозначают длину решетки -насыщенных формаций, заключенных между и .

Определение.Пусть

и - произвольные -насыщенные формации. Тогда, если решетка имеет конечную длину , то говорят, что -дефект формации конечен и равен . Если же длина этой решетки бесконечна, то говорят, что -дефект формации - бесконечен и пишут .

Определение.Пусть

и -насыщенные формации. Формация называется максимальной -насыщенной подформацией формации , если , и в не существует такой -насыщенной подформации , что .

Пример. Пусть

-насыщенная формация не имеет максимальных -насыщенной подформаций. Тогда для любой -насыщенная подформации , не содержащей , -дефект формации бесконечен.

Лемма. Пусть

и - -насыщенная формации и . Тогда .

Доказательство. Поскольку в силу модулярности решетки

-насыщенных формаций имеет место решеточный изоморфизм

и в модулярной решетке длина любой ее подрешетки не превосходит длину самой решетки, то

. Лемма доказана.

Лемма. Пусть

и - -насыщенные формаций, причем . Тогда если , и - соответственно -дефекты формаций и и , то .

Лемма. Пусть

и - -насыщенные формации, причем . Тогда в том и только в том случае имеет конечный -дефект , когда в имеется максимальная -насыщенная подформация с и в нет ни одной максимальной -насыщенной подформации с