Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 1 из 18)

Важное место в современной алгебре занимает изучение конечных групп, для исследования которых было разработано немало средств. И хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующихся точек зрения.

Толчок, произведенный работой Гашюца 1963 года, вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления, новой теории. Уже в первые годы существования этой теории были получены значительные результаты. С этого момента началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, наибольшую популярность среди которых получили формации.

Напомним, что формация - это класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. В работе Гашюца был впервые выделен важный для приложений класс насыщенных формаций и предложен способ конструирования такого рода формаций при помощи специальных функций. В вопросах приложения теории формаций к исследованию непростых конечных групп нашли широкое применение насыщенные и

-насыщенные формации. При их изучении выделились два подхода. Первый связан с так называемым локальным заданием формации

. В качестве рабочего инструмента этого способа Гашюц предложил использовать функции вида

При этом вводится понятие локального спутника формации

. Говорят, что

- локальный спутник формации

, если данная формация состоит из тех и только из тех групп, для которых имеет место

для любого

Позднее эта теория расширилась, и в результате возникла необходимость изучать частично насыщенные формации. Рабочим инструментом теперь стало понятие

-локального спутника формации. В качестве которого выступает функция вида

где данная формация

состоит только из тех групп

, для которых

для любого

. Формацию

называют

-насыщенной, если из

всегда следует

Как показал Гашюц, всякая локальная формация насыщена. В дальнейшем Любезедер и П. Шмид установили, что всякая непустая насыщенная формация локальна. Таким образом, оказалось, что класс локальных формаций совпадает с классом непустых насыщенных формаций. Идеи, заложенные в отмеченной выше работе Гашюца, привлекли внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.

Развивая локальный метод Гашюца, Л.А. Шеметков предложил второй подход для изучения формаций, в основе которого лежит идея изучения формаций с заданной системой подформаций. Этот метод исследования был впервые рассмотрен в книге Л.А. Шеметкова "Формации конечных групп" (Москва: Наука, 1978 г) . Решение задач, поставленных в этой книге, дало толчок целому кругу новых идей и, в частности, это привело к возникновению таких важных понятий как минимальные не

-формации,

-кратно насыщенные формации,

-дефект насыщенной формации, дополняемость подформаций, длина насыщенной формации и др.

Немаловажным из рабочих инструментов исследования частично насыщенных формаций являются результаты и методы общей теории решеток. Как известно, методы общей теории решеток с успехом используются при исследовании различных алгебраических объектов . Привлечение методов этой теории к изучению классов групп позволяет не только значительно упрощать доказательства многих уже известных теорем, но и с успехом решать ряд открытых вопросов, связанных с изучением внутреннего строения таких классов. Применение решеточных подходов в теории классов групп было впервые осуществлено в рамках теории многообразий групп. Позднее А.Н. Скиба показал , что привлечение решеточных конструкций весьма полезно и при изучении формаций групп. При этом существенную роль играет тот факт, что решетка всех насыщенных формаций модулярна. В дальнейшем рассматривался вопрос о модулярности и дистрибутивности решеток формаций других типов. Так в монографии Л.А. Шеметкова и А.Н. Скибы "Формации алгебраических систем" (М.: Наука, 1989 г) была доказана модулярность решетки всех

-кратно насыщенных формаций; Баллестером-Болиншес и Л.А. Шеметковым было показано, что модулярна решетка всех

-насыщенных формаций; Л.А. Шеметковым и А.Н. Скибой была установлена модулярность решетки

-кратно

-насыщенных формаций. Эти результаты позволили широко применять элементы общей теории решеток в вопросах изучения и классификации формаций таких типов. Широкий спектр применения решеточных конструкций при исследовании формаций представлен в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций" (Минск: Беларуская навука, 1997 г) . Таким образом, дальнейшее развитие решеточных методов в теории классов групп является актуальной задачей.

В настоящее время теория насыщенных формаций является весьма развитым учением, обогащенным большим числом ярких теорем и содержательных примеров. Они отражены в ряде работ. В то же время, частично насыщенные формации и, в частности,

-насыщенные формации изучены сравнительно мало. Следует отметить, что как показывают результаты ряда авторов, полученные в последние годы,

-насыщенные формации весьма полезны при анализе многих вопросов при исследовании нормального строения конечных непростых групп. А методы, разработанные на основе частично насыщенных формаций широко используются в различных областях современной математики. Наиболее широкий диапазон применения этой теории в общей алгебре.

Настоящая дипломная работа посвящена изучению свойств частично насыщенных формаций с заданной структурой подформаций. Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата, введения, основной части, включающей три раздела, заключения и списка цитируемой литературы. Каждый раздел условно можно разделить на две части. Первая часть носит вспомогательный характер. В ней приводятся обозначения, определения понятий, которые неоднократно используются в дальнейшем. В этой части также включены некоторые результаты теории формаций конечных групп для удобства ссылок и независимости текста работы от других источников. Во второй части работы находятся новые результаты, полученные автором в результате изучения данной темы.