Многочлены над кольцом классов вычетов (стр. 2 из 6)

В данном выше определении одночлена и полинома имеется одно сомнительное место. Именно, было сказано, что x есть буква, посторонняя для кольца K, и не было объяснено, что это значит. Сказать, что x не принадлежит кольцу K - это сказать слишком мало, так как при этом не исключаются нежелательные возможности

или и т.д. Однако мы можем избавиться от "сомнительной" буквы x. Для этого рассмотрим бесконечные последовательности элементов кольца K, в которых все элементы, начиная с некоторого, равны нулю. Вводим теперь определения равенства и основных действий.

тогда и только тогда, когда , i = 0, 1, ..., k, ...

. Ясно, что требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого, сохраняется при сложении.

. Здесь тоже сохраняется требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого места.

Легко проверяется коммутативность и ассоциативность сложения и умножения и дистрибутивность умножения со сложением. Далее ясно, что

и , и, более общо, .

4.

отождествляется с последовательностью .

Рассмотрим теперь последовательность (0, 1, 0, ..., 0, ...), обозначив ее буквой x. Тогда x2 = (0, 0, 1, 0, ..., 0, ...) и т.д. Поэтому

. Таким образом, мы построили элементы кольца K[x] полиномов.

Итак, при определении многочлена

(3)

существенны лишь коэффициенты

, и поэтому можно было бы писать вместо (1) последовательность . Однако, в конечном счете, запись многочлена в виде выражения (3) оказывается более удобной.

Пусть

, причем . Одночлен называется высшим (старшим) членом полинома f(x) и показатель n называется степенью f(x) и обозначается deg f. Нулевой полином не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен нулю. Коэффициент называется свободным членом. Многочлен, старший коэффициент которого равен единице, называется нормированным.

При сложении многочленов

и по формуле (1) мы видим, что формула для суммы не содержит членов, степень которых выше, чем , а формула (2) для произведения - членов, степень которых выше, чем n + m. Отсюда следует, что

, (4)

. (5)

3. Кольцо многочленов над областью целостности.

Далее будем рассматривать только многочлены с коэффициентами из области целостности K (кольцо без делителей нуля называют областью целостности), т.е. из кольца K, в котором произведение двух элементов может равняться нулю, если только один из сомножителей равен нулю. Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено специально.

При произведении многочленов

степени n и степени m старший член, как следует из формулы (2), равен (это коэффициент при ). Так как в кольце нет делителей нуля, то и, значит, . Из нашего рассуждения следует также, что

. (6)

Эта формула является уточнением неравенства (5) для случая, когда в кольце K нет делителей нуля. Формула (6) также справедлива и тогда, когда один из многочленов f(x), g(x) или они оба равны нулю. Итак, произведение двух ненулевых многочленов - ненулевой многочлен, поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K.

Пусть

- многочлен с коэффициентами из K. Для любого положим

, (7)

где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент

называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем , когда x0 можно представлять как точку действительной оси.) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.

Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются с обычными операциями, производимыми над функциями, когда складываются или, соответственно, перемножаются значения функций в каждой точке.

Рассмотрим два многочлена:

, . Пусть h(x) = f(x) + g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0)= =f(x0) + g(x0) для любого . В соответствии с формулой (1) = , где , что и требовалось доказать.

Пусть теперь

- произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что для любого . Перемножим равенства , . Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: , где . Сравнение полученного результата с формулой (2) позволяет сделать вывод, что .

Таким образом, функция, определяемая суммой (соответственно произведением) двух многочленов, есть сумма (соответственно произведение) функций, определяемых этими многочленами.

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K[x] всегда соответствуют различные функции.