Многочлены над кольцом классов вычетов (стр. 6 из 6)

.

И теперь эта теорема следует непосредственно из теоремы 7.

9. Классы вычетов.

Определение. Класс всех многочленов, сравнимых с многочленом

по многочлену , называют классом вычетов по многочлену и обозначают через . Множество всех классов вычетов по многочлену обозначим

Определим на множестве

операции сложения и умножения.

Определение. Для любых

, положим:

+ = , = .

Таким образом, чтобы сложить (перемножить) классы

, нужно выбрать из них по одному представителю, сложить (перемножить) их как многочлены и взять класс, содержащий полученный многочлен. В определении в качестве таких представителей выбраны многочлены и . Однако в классах , содержится много других многочленов, и мы заранее не уверены в том, что результат сложения (умножения) классов не зависит от выбора представителей. Если бы результат зависел от выбора представителей, то складывая одни и те же классы, мы могли бы получать разные результаты. Это бы означало, что операции определены некорректно.

Докажем, что определение корректно.

Действительно, пусть,

, . Тогда , и по теореме 8 имеем:

, ,

т. е.

.

Следовательно, результаты операций над классами не зависят от выбора представителей, т. е. операции определены корректно.