Принятие решений в условиях риска 3 (стр. 3 из 8)

является взвешенной средней рисков i-й строки матрицы (таблица 3) с весами p_i, i=1, ..., т.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков является стратегия П_j, показатель неэффективности (11) которой минимален, т.е. минимален средний риск

ṝ_i0 = min ṝ_i. (12)

^{1≤ i ≤m}

Определим понятие риска при использовании игроком А смешанной стратегии и при состоянии природы П_j, j = l, ..., п, как разность

r (P, П_j) = [max H (U, П_j)] - H (P, П_j), j=1, …, n. (13)

^{U ϵSa}

между максимальным выигрышем max H (U, П_j) при всех смешанных стратегиях U = ( u₁ , ..., u_n ) ϵ S_A и при состоянии природы П_j и выигрышем H (P, П_j) при смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) и при состоянии природы П_j.

В качестве показателя неэффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно рисков рассмотрим взвешенную среднюю рисков (13) с весовыми коэффициентами, равными вероятностям q₁ , ..., q_n состояний природы:

=

. (14)

Оптимальной среди всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий по критерию Байеса относительно рисков будем считать стратегию P⁰, показатель неэффективности которой, вычисляемый по формуле (14), минимален:

min

= . (15)

^{P ϵSa}

Если А_i0 - стратегия, оптимальная среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков, то она является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

При принятии решения в условиях риска по критерию Байеса относительно рисков так же как и в случае критерия Байеса относительно выигрышей достаточно использовать одни чистые стратегии, не рассматривая смешанные.

Критерии Байеса относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны, т.е. если стратегия А_i0 является оптимальной по критерию Байеса относительно выигрышей, то она является оптимальной и по критерию Байеса относительно рисков, и наоборот, стратегия А_i0, оптимальная по критерию Байеса относительно рисков, оптимальна и по критерию Байеса относительно выигрышей.

1.5 Критерий Лапласа относительно выигрышей

В предыдущих двух критериях Байеса известные вероятности q₁ , ..., q_n состояний природы могли быть получены из статистических данных, отражающих многократное решение подобных задач, или в результате наблюдений за поведением природы. Однако, довольно часто складывается такая ситуация, когда мы лишены возможности определить вероятности состояний природы указанными способами. Желая все же принять решение в условиях риска, мы вынуждены оценить вероятности состояний природы субъективно. Существуют различные методы численной субъективной оценки степени правдоподобности состояний природы. Один из них состоит в том, что мы не можем отдать предпочтение ни одному из состояний природы, и потому считаем их равновероятными, т.е. q₁ = .. .=q_n =

. Этот принцип называется «принципом недостаточного основания» Лапласа. На нем основан критерий Лапласа относительно выигрышей.

Показателем эффективности стратегии А_i по критерию Лапласа относительно выигрышей называется среднее арифметическое выигрышей i-й строки:

ā_i =

, i=1, …, m. (16)

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей считается стратегия А_i0 показатель эффективности, кот-

орой, вычисляемый по формуле (16), максимален, т.е. ā_i0 = max ā_i.

^{1≤ i ≤m}

Очевидно, что критерий Лапласа относительно выигрышей есть частный случай критерия Байеса относительно выигрышей при q₁ = .. .=q_n =

. Поэтому все утверждения на счет критерия Байеса относительно выигрышей, остаются в силе и для критерия Лапласа относительно выигрышей.

Подставляя (16) в (9), получим показатель эффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Лапласа относительно выигрышей

=

. (17)

Стратегия P = ( p₁ , ..., p_n ) будет оптимальной среди всех смешанных стратегий множества S_A по критерию Лапласа относительно выигрышей, если она максимизирует показатель эффективности (17).

Оптимальная среди чистых стратегия А_i по критерию Лапласа относительно выигрышей является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий.

1.6 Критерий Лапласа относительно рисков

Критерий Байеса относительно рисков при равновероятных состояниях природы, q₁ = .. .=q_n =

, превращается в критерий Лапласа относительно рисков. Тогда величина

, получающаяся из (11) при q_j = , j=1, …, n, или более простая величина

представляет собой показатель неэффективности стратегии А_i по критерию Лапласа относительно рисков. Следовательно, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно рисков является стратегия А_i0, показатель неэффективности

которой минимален. Подставляя в (14) значения q_j = , j=1, …, n, получим показатель неэффективности смешанной стратегии Р по критерию Лапласа относительно рисков, вместо которого можно рассматривать более простую величину =

. Стратегия Р, для которой показатель принимает минимальное значение, является оптимальной среди всех стратегий множества S_A. Чистая стратегия, оптимальная среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно рисков, оптимальна по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

Критерии Лапласа относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны.

1.7 Критерий относительных значений вероятностей состояний природы с учетом выигрышей (рисков)

В практике принятия решений часто встречается случай, когда нам неизвестны вероятности состояний природы, но мы имеем представление о том, какие состояния природы более правдоподобны, какие менее правдоподобны, а какие равноправдоподобны. Поэтому мы можем расположить (неизвестные) вероятности состояний природы в виде убывающей или возрастающей последовательности. Для простоты предположим, что расположение q₁, ..., q_n уже и есть монотонная последовательность. Если, например, эта последовательность строго убывает, то правдоподобнее всех состояние П₁ затем по степени правдоподобности следует состояние П₂, и т. д., наименьшей правдоподобностью обладает состояние П_n. Не зная, на сколько одна вероятность состояния природы отличается от другой, мы можем предположительно придать им относительные значения, пропорциональные членам некоторой (подходящей на наш взгляд) монотонной последовательности положительных чисел τ₁, ..., τ_n, т.е.

q₁ : q₂ : q₃ : ... : q_n = τ₁ : τ₂ : τ₃ : ... : τ_n . (18)

Из (18) следует, что если q₁ , ..., q_n убывающая, соответственно возрастающая, последовательность, то убывающей, соответственно возрастающей, является и последовательность τ₁ , ..., τ_n.

При этом следует учитывать нормировочное равенство

=1 (19)

Вероятность j-ого столбца определяется по формуле:

q_j =

, j=1, …, n (20)

Из (20) и (19) получим:

1 =

= = . (21)