Принятие решений в условиях риска 3 (стр. 4 из 8)

Из (21) выразим q₁ вероятность возникновения состояния природы П₁:

q₁ =

. (21)

Тогда:

q_j =

. (22)

Мы нашли значения вероятностей q_j, j=1, …, n, состояний природы.

Критерий Байеса относительно выигрышей при вероятностях состояний природы назовем критерием относительных значений вероятностей состояний природы с учетом выигрышей. При этом критерии показателем эффективности стратегии А_i является величина ā_i, получающаяся из равенства (6) подстановкой в него вероятностей (22):

ā_i =

, i=1, …, m. (23)

Так как множитель

не зависит от номера i,то в качестве показателя эффективности стратегии А_i вместо величины (23) можно рассматривать величину:

ā_i =

, i=1, …, m. (23)

Оптимальной среди чистых стратегий по рассматриваемому критерию является стратегия с максимальным показателем эффективности (23).

Критерий Байеса относительно рисков при вероятностях состояний природы назовем критерием относительных значений вероятностей состояний природы с учетом рисков. При этом показатель неэффективности стратегии подсчитывается по формуле (6), вероятности q₁ , ..., q_n в которой представлены формулой (2.20.31):

ṝ_i = , i=1, …, m. (24)

Оптимальной среди чистых стратегий по обсуждаемому критерию является стратегия с минимальным показателем неэффективности (24).

2 Алгоритмическое обеспечение

Выбор алгоритма решения задачи зависит от поставленных условий. Если вероятность состояний природы не определена и события равновероятны, то следует остановиться на критерии Лапласа. Если вероятность состояний природы не определена, но события имеют различную вероятность, то следует выбрать критерий относительных значений вероятностей состояний природы. В противном случае следует использовать критерий Байеса. Если исходными данными является платежная матрица, то для решения будут использоваться критерии относительно выигрышей, и критерии относительно рисков для матрицы рисков.

Проиллюстрируем алгоритм принятия решения в условиях риска на конкретном примере с использованием Excel. Для демонстрации всех критериев будем использовать платежную матрицу без заданной вероятности. Рассмотрим 2 случая: события имеют одинаковую вероятность и отличную друг от друга. На основе матрицы выигрышей построим матрицу рисков.

Рассмотрим игру с природой где игрок имеет 7 (m=7) чистых стратегий A₁ , A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇, природа П может находиться в одном из четырех (n=5) состояний П₁, П₂, П₃, П₄, П₅. Статистик оценил последствия применения каждой из своих чистых стратегий A_i, в зависимости от состояний П_j природы, результаты представлены в платежной матрице 7×5 (таблица 3).

Таблица 3 – Платежная матрица

A=	Пj Аi	П1	П2	П3	П4	П5
	А1	5	6	4	3	4
	А2	7	4	5	2	3
	А3	2	3	6	4	2
	А4	4	8	3	0	1
	А5	4	7	4	6	2
	А6	7	4	5	2	3
	А7	1	3	1	1	1

Упрощение матрицы. У игрока А нет стратегии, доминирующей каждую из остальных его стратегий, следовательно, нужно посмотреть, нет ли у него доминируемых или дублирующих стратегий. При наличии таковых, соответствующие им строки матрицы можно удалить, уменьшив тем самым ее размерность. Стратегия А₂доминирует стратегию А₇ и потому стратегию А₇ можно отбросить; стратегии А₂и А₆дублирующие, следовательно, одну из них, например А₆, можно удалить. В результате получим матрицу (таблица 3) размерности 5x5:

Таблица 4 – Упрощенная платежная матрица

A=	Пj Аi	П1	П2	П3	П4	П5
	А1	5	6	4	3	4
	А2	7	4	5	2	3
	А3	2	3	6	4	2
	А4	4	8	3	0	1
	А5	4	7	4	6	2

Критерий Лапласа относительно выигрышей. Вероятности q₁ , q₂, q₃, q₄, q₅ состояний природы равны между собой и имеют значение q_j = 0,2.

Показатель эффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно выигрышей рассчитывается для i-й строки по формуле (16):

ā₁ =

= 0,2*(5+6+4+3+4) = 4,4;

ā₂ = 4,2;

ā₃ = 3,4;

ā₄ = 3,2;

ā₅ = 4,6.

Как видно из полученных результатов оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей является ā₅₀ = 4.6, т.к. значение ее максимально.

Критерий Лапласа относительно рисков. Построим на основе матрица выигрышей матрицу рисков, для этого дополним таблицу 4 строкой значений показателей благоприятности β_j (1):

Таблица 5 – Показатели благоприятности

Пj Аi	П1	П2	П3	П4	П5
А1	5	6	4	3	4
А2	7	4	5	2	3
А3	2	3	6	4	2
А4	4	8	3	0	1
А5	4	7	4	6	2
βj	7	8	6	6	4

Риск r_ij (2) это разность между показателем благоприятности β_j состояния природы П_j и выигрышем a_ij. Для матрицы А матрица рисков R_A имеет ту же размерность 5x5: