Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе (стр. 2 из 11)

При решении уравнения путем различных преобразований стараются заменить его более простым, равносильным ему уравнением. Однако такая замена не всегда удается. Тогда возможны следующие два случая:

1. При переходе к новому уравнению может произойти потеря корней. Например, при переходе от уравнения

к уравнению сокращением на неизвестное происходит потеря корня . Поэтому при переходе к новому уравнению надо учитывать возможность потери корня данного уравнения.

2. Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся корнями
данного уравнения (так называемые посторонние корни). Например, при переходе от уравнения

к уравнению возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения получим - посторонний корень этого уравнения. Поэтому часто делают проверку корней, подставив их в данное уравнение.

Напомним, что числовые равенства обладают следующими свойствами:

1) числовое равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить
одно и то же число;

2) числовое равенство не нарушится, если обе его части умножить или
разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Из свойств числовых равенств и понятия равносильных уравнений вытекают следующие основные свойства уравнений:

1) Уравнение

, (1) равносильно уравнению , (2) где - число или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых значений (т.е. на ОДЗ) уравнения .

Доказательство:

Обозначим через

множество решений уравнения (1), а через множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если . Но чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из является корнем уравнения (1).

Пусть число

- корень уравнения (1). Тогда и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство , а выражение обращает в числовое выражение . Прибавим к обеим частям истинного равенства числовое выражение . Получим согласно свойствам истинных числовых равенств истинное числовое равенство .

Но это равенство говорит о том, что число

является также и корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е.

.

Пусть теперь

- корень уравнения (2). Тогда и при подстановке в уравнение обращает его в истинное числовое равенство .

Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение

. Получим истинное числовое равенство , которое говорит о том, что число - корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е.

.

Так как

и , то по определению равных множеств , а значит, уравнения (1) и (2) равносильны, ч.т.д.

Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Например,

.

2) Уравнение

равносильно уравнению , где - число или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых значений уравнения и не обращающееся на нем в нуль.

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свойства 1.

Следствие. Обе части уравнения можно сокращать на общий множитель, не обращающийся в нуль на множестве допустимых значений
данного уравнения.

Действительно, уравнение

, т.е.

равносильно уравнению

.

3) Уравнение

равносильно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения или на своем множестве при дополнительном условии , .

Эти свойства используются при решении уравнений. [5, c.116]

§2. Линейные уравнения.

Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнение вида

, где - заданные числа, причем , а - неизвестное.

При этом число

называется коэффициентом при неизвестном ,

число

- свободным членом уравнения.

Это уравнение равносильно уравнению

, из которого получаем, что . Таким образом, уравнение первой степени всегда имеет единственный корень .

Уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения

, где - заданные числа, а - неизвестное.

Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида

, где и - известные числа. При этом число - коэффициент при неизвестном , может оказаться равным нулю, в отличие от коэффициента при неизвестном в уравнении первой степени.