Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе (стр. 3 из 11)

Может оказаться, что линейное уравнение не имеет корней или имеет бесконечное множество корней. [5, с.118]

Пример 1. Показать, что уравнение

не имеет корней.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению

или .

Это уравнение не имеет корней, так как левая часть

равна нулю при любом , а значит, не равна 3. [1, c.34]

Пример 2. Решить уравнение

.

Решение. Это уравнение содержит параметр

(переменную, которая в условии данной задачи сохраняет одно и то же значение).

Если

, то , т.е. - единственный корень уравнения. Если , то уравнение принимает вид и его корнем является любое действительное число . [1, c.35]

Пример 3. Решить уравнение

.

Решение.

1) После приведения дробей к общему знаменателю

получим линейное уравнение , равносильное исходному, при условии, что , т.е. , .

2) После приведения подобных членов и сведения полученного уравнения к стандартному для линейного уравнения виду

имеем , (*)

3) а) Если

, то . Теперь необходимо исключить те значения параметра , при которых найденное значение равно , чего не может быть по области определения (ОДЗ) исходного уравнения. Приравняем дробь к :

, , .

Таким образом, при

полученное в результате преобразования линейное уравнение имеет корень , посторонний для исходного уравнения.

б) Если

, то уравнение (*) примет вид или - неверное равенство, т.е. уравнение (*) не имеет корней.

Вообще, если уравнение не имеет корней, то говорят также, что множество корней уравнения пустое, и обозначают Ø.

Ответ. 1) При

, и уравнение имеет единственное решение ;

2) при

данное уравнение не имеет смысла;

3) при

и нет решений.

Ответ можно записать короче:

1) если

, то ; 2) если , то Ø. [14, c.42]

§3. Квадратные уравнения. Теорема Виета (прямая и обратная).

Определение. Квадратным уравнением (или уравнением второй степени) называется уравнение вида

, где - заданные числа, причем , а - неизвестное. Числа называются коэффициентами квадратного уравнения: - коэффициент при квадрате неизвестного, - коэффициент при неизвестном в первой степени, - свободный член.

Квадратное уравнение

называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов или равен нулю.

Неполное квадратное уравнение - это уравнение одного из следующих видов:

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения.

1. Уравнение

имеет единственный корень .

2. Уравнение

равносильно уравнению . Возможны два случая.

Если

, то , и поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Если

, то , и уравнение имеет два корня: , .

Действительно, перенося в уравнении

величину в левую часть, получаем .

Так как

, то . Поэтому .

Разложив левую часть этого уравнения на множители, получим

.

Данное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Рассматривая

, получим ; рассматривая , находим .