Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе (стр. 4 из 11)

Следовательно, уравнение

при имеет два корня; , что и утверждалось. Ответ часто записывается в виде .

Например, неполное квадратное уравнение

не имеет действительных корней. Для неполного квадратного уравнения получаем

Это уравнение можно решить по-другому:

3. Уравнение

можно решить с помощью разложения его левой части на множители. Очевидно, что , откуда , . Например, , откуда , .

В общем случае для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата. [5, c.120]

Применение этого метода поясним сначала на примерах.

Пример 1. Решить квадратное уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на

:

.

Применим метод выделения полного квадрата:

.

Поэтому получим

,

откуда

. Следовательно,

, .

Можно выделить полный квадрат в исходном уравнении и без предварительного деления на

(коэффициент при квадрате неизвестного):

.

Поэтому

и т.д. [2, c.107]

Рассмотрим теперь квадратное уравнение общего вида

. (1)

Применим метод выделения полного квадрата. Для этого запишем левую часть уравнения в следующем виде:

.Поэтому

или . (2)

Дальнейшее решение зависит от знака правой части полученного уравнения (2).

Так как

, то знак правой части совпадает со знаком выражения . [15, c.163]

Определение. Выражение

называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой : .

Рассмотрим три случая:

.

1.

.

В этом случае уравнение (2) можно записать так:

;

следовательно,

,

откуда

, (3)

или

, (4)

где

- дискриминант уравнения (1).

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле (3) или (4).

2.

.

В этом случае уравнение (2) принимает вид

,

откуда

, т.е. .

Таким образом, если дискриминант равен нулю, т.е.

, то уравнение имеет единственный корень .

Заметим, что формула (3) или, что то же, (4) применима и в случае

. В самом деле, эта формула дает единственный корень уравнения (1). Говорят также, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня: . Такое соглашение освобождает нас от специальных оговорок, относящихся к этому случаю при формулировке свойств квадратных уравнений.

3.

.

В этом случае в правой части уравнения (2) стоит отрицательное число, а в левой части - неотрицательное (положительное или равное нулю). Следовательно, если

, то уравнение (2), а значит, и уравнение не имеют действительных корней.

Вывод. Квадратное уравнение

имеет действительные корни только при дискриминанте ; если , то корни различные; если , то корни равные. Формула корней квадратного уравнения имеет вид (3) или (4). [15, c.165]

По этой формуле можно находить и корни неполных квадратных уравнений, но проще вычислять их путем разложения левой части неполного квадратного уравнения на множители, как было показано.

Замечание 1. Если коэффициент

- четное число, т.е. , то формула корней квадратного уравнения примет вид

. [2, c.114]

Например, вычислим корни уравнения

(заметим, что уравнение имеет действительные корни, так как ):

.

Замечание 2. Если коэффициент

, то квадратное уравнение принимает вид . Такое квадратное уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Всякое квадратное уравнение можно привести к виду делением обеих частей уравнения на . [2, c.117]

Найдем корни приведенного квадратного уравнения. В формуле (3) полагаема

. Тогда

- формула корней приведенного квадратного уравнения .