Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе (стр. 5 из 11)
Например, решим уравнение
: 
,Откуда
Пример 2. Решить уравнение
.Решение. Разложив знаменатели на множители, имеем
.После приведения дробей к общему знаменателю
получим уравнение 
или 
, равносильное исходному уравнению, при условии, что 
, т.е. 
, 
. Находим корни приведенного квадратного уравнения: 
,откуда
, 
. Так как не удовлетворяет ограничению 
(не входит в ОДЗ исходного уравнения), то, следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень 
. [2, c.124]Теорема Виета. Если квадратное уравнение
имеет действительные корни 
и 
, то их сумма равна 
и произведение равно 
: 
, 
. (5)Формулы (5) называются формулами Виета.
Доказательство. По условию дискриминант квадратного уравнения
. Тогда по формуле (4) уравнение имеет два корня: 
, 
.Найдем сумму и произведение корней:
, 
,и формулы (5) получены.
Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.
Для приведенного квадратного уравнения
с дискриминантом 
формулы (5) принимают вид 
, 
. (6)Полученные для приведенного квадратного уравнения формулы Виета читаются так: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Если корни квадратного уравнения действительные
, то формулы Виета позволяют по знакам коэффициентов уравнения определить знаки корней. Например, если 
, 
, 
(и, следовательно, 
), то 
и корни имеют разные знаки. Так как при этом 
, то отсюда следует, что больший по модулю корень отрицателен (сумма двух чисел разных знаков отрицательная!). [5, c.126]Теорема (обратная теореме Виета). Если числа
таковы, что 
, , то и - корни уравнения 
.В теореме Виета для приведенного квадратного уравнения
утверждалось, что для его корней , и коэффициентов 
справедливы формулы (6).В обратной теореме Виета утверждается: если для чисел
справедливы формулы (6), то и - корни приведенного квадратного уравнения 
.Доказательство. Рассмотрим
и получим 
. Очевидно, что 
и - корни уравнения 
и, значит, уравнения 
. [5, c.127]Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.
Пример 3. Не решая уравнения
, определить знаки его корней.Решение. Дискриминант этого уравнения положителен, так как
. Следовательно, уравнение имеет действительные корни и 
. По теореме Виета 
; корни имеют одинаковые знаки. Так как по теореме Виста 
, то корни и - положительные. [2, c.119]Пример 4. Составить приведенное квадратное уравнение, корни которого
, 
.Решение. По обратной теореме Виета
, 
. Искомое уравнение 
. [2, c.119] §4. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Рассмотрим квадратный трехчлен
.Квадратный трехчлен - это многочлен второй степени. Значения
, при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение 
.Мы уже знаем, что число действительных корней квадратного уравнения, а значит, и квадратного трехчлена зависит от знака дискриминанта
. Пусть дан квадратный трехчлен 
с неотрицательным дискриминантом 
.