Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе (стр. 7 из 11)
Итак,
, 
, 
, 
- все корни данного уравнения.Отметим, что без введения нового неизвестного решить данное уравнение четвертой степени было бы затруднительно. [5, c.132]
Пример 4. Решить биквадратное уравнение
.Решение. Биквадратное уравнение - важный частный случай уравнения четвертой степени. Заменой
биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению 
, которое имеет действительные корни только в случае, когда его дискриминант 
неотрицательный. Тогда возможны следующие случаи, (в зависимости от корней 
вспомогательного квадратного уравнения):1)
, 
; биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня: 
, 
.2)
, 
; биквадратное уравнение имеет два действительныхкорня:
.Очевидно, аналогично и при
, 
.3)
, ; биквадратное уравнение не имеет действительных корней.Например, решим биквадратное уравнение
. Полагаем 
. Тогда 
; дискриминант 
; корни 
, 
. Решая уравнение 
, получаем 
. Уравнение 
действительных корней не имеет. [23, c.103]Пример 5. Решить уравнение
.Решение. Запишем уравнение в виде
и возведем обе части его в квадрат:
или 
, откуда 
, т.е. 
. Следовательно, 
, 
. Проверка показывает, что числа 
, 
удовлетворяют исходному уравнению.Ответ:
, 
. [15, c.185]§6. Уравнения третей степени.
Будем рассматривать уравнение третей степени вида
, где 
, 
- любые коэффициенты. Левая часть – это многочлен третей степени, поэтому уравнение имеет три корня (возможно комплексные и совпадающие). Разделим данное уравнение на 
, тогда получим: 
, (1)Преобразуем это уравнение так, чтобы исчез член с квадратом неизвестного. Если положить
и подставить это выражение в наше уравнение, то после несложных выкладок получится более простое уравнение
, (2)которое называется приведенным уравнением третей степени.
Таким образом, остается решить уравнение (2). Полагаем
, где 
и 
– два новых вспомогательных неизвестных, и, подставляя это выражение 
в уравнение (2), мы получим: 
или, раскрыв скобки и перегруппировав члены:
, (3)Так как вместо одного неизвестного ввели две неизвестные
и , то одно может быть выбрано произвольно, т.е. между 
и 
можем установить еще одну произвольную зависимость. Потребуем, чтобы 
.Значит
Мы видим, что
и 
являются корнями приведенного квадратного уравнения 
Решая это уравнение, находим:
откуда
Итак, неполное уравнение (2) нам удалось решить алгебраически:
, (4)Формула (4) называется формулой Кардана.
По этой формуле получается девять значений, а нас интересует только три значения. Нужные три значения найдем из условия
, (5)Чтобы упростить систему поисков, поступим следующим образом: обозначим через
одно из значений 
(любое), а через 
такое значение 
, чтобы 
или 
. Тогда остальные значения находятся по формулам: 
, 
, 
, 
.Таким образом, получаем все три корня уравнения (2):
(6)Пример. Определить по формуле Кардана корни уравнения
.Здесь
Следовательно,