Два уравнения
иназывают эквивалентными, если каждое из них является следствие другого, и пишут
.Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.
Уравнение
считают эквивалентным двум (или нескольким) уравнениям , , если множество решений уравнения совпадает с объединением множеств решений уравнений , .Н е к о т о р ы е э к в и в а л е н т н ы е у р а в н е н и я:
Уравнение
эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.Уравнение
эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения. эквивалентно двум уравнениям и .Уравнение
эквивалентно уравнению .Уравнение
при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .Алгебраическим уравнением называется уравнение вида
,где
– многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида
+ + ... + + ,где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена
, , , ..., , называются коэффициентами (или параметрами) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.
Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х)
, где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.
Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.
Линейное уравнение
Линейным уравнением называется уравнение первой степени.
, (1)
где a и b – некоторые действительные числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственный корень
, который находится следующим образом.Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число
, получаем уравнение, (2)
эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину
, получаем корень уравнения (1): .Квадратное уравнение
Алгебраическое уравнение второй степени.
, (3)
где
, , – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,Выражение
называется дискриминантом квадратного уравнения.При этом: