Уравнения и способы их решения (стр. 3 из 10)
если
, то уравнение имеет два различных действительных корня;если
, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;если
, то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня: 
, 
,Частными видами квадратного уравнения (3) являются:
1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если
), которое обычно записывается в виде 
.Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле
. (4)Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.
2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде
( 
- целое число).Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле
. (5)Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.
Корни приведенного квадратного уравнения
связаны с его коэффициентами Формулами Виета
,
.
В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:
если
, 
, то оба корня отрицательны;если
, 
, то оба корня положительны;если
, , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;если
, , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.Перепишем еще раз квадратное уравнение
(6)и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если
+ 
+ 
, (7)то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,откуда
, 
.
которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).
,Заметим, что
, поэтому 
,откуда
. 
,но
, из формулы (7) поэтому окончательно .Если положить, что
+ , то 
,Заметим, что
, поэтому 
,откуда
,но
, 
поэтому окончательно 
.и
. Двучленные уравнения
Уравнения n-й степени вида
(8)называется двучленным уравнением. При
и 
заменой [2]) 
,где
- арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению 
,которое и будет далее рассматриваться.
Двучленное уравнение
при нечетном n имеет один действительный корень 
. В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и 
комплексных): 
( 
0, 1, 2, ..., ). (9)Двучленное уравнение
при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня 
, а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).