Уравнения и способы их решения (стр. 4 из 10)
Двучленное уравнение
при четном n имеет один действительный корней 
, а в множестве комплексных чисел 
корней, вычисляемых по формуле 
( 
0, 1, 2, ..., 
). (10)Двучленное уравнение
при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.
1)
( 
).Уравнение имеет два действительных корня
.2)
( 
).Уравнение имеет один дествительный корень
и два комплексных корня 
.3)
( 
).Уравнение имеет два действительных корния
и два комплексных корня 
.4)
( ).Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:
.5)
( ).Уравнение имеет один дествительный корень
и два комплексных корня 
.6)
( ).Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:
, 
. Кубические уравнения
Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида
, где 
,оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.
Начнем с упрощения
Если кубическое уравнение общего вида
, где ,разделить на
, то коэффициент при 
станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения
. (11)Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:
Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь
на 
и перегруппируем слагаемые:
. (12)Мы видим, что надлежащим выбором
, а именно взяв 
, можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при 
и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные: 
.Если здесь сделать замену
, получим кубическое уравнение относительно 
без члена с 
: 
.Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида
. (13)Формула Кардано
Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:
.Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу
: 
, или 
.Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений
или 
и взять в качестве
сумму и . Заменой 
, 
эта система приводится к совсем простому виду: 
Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при
со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что 
и 
- корни уравнения 
.Выпишем эти корни:
Переменные
и равны кубическим корням из 
и 
, а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней: 
.Эта формула известная как формула Кардано.
Тригонометрическое решение
