Уравнения и способы их решения (стр. 5 из 10)
подстановкой
приводится к "неполному" виду
, 
, 
. (14)Корни
, 
, 
"неполного" кубичного уравнения (14) равны 
, 
,где
, 
, 
.Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) действительно.
а) Если
("неприводимый" случай), то 
и 
, 
,где
.(b) Если
, 
, то 
, 
,где
, 
.(с) Если
, 
, то 
, 
,где
, 
.Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.
Биквадратное уравнение
Алгебраическое уравнение четвертой степени.
,где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой
уравнение сводится к квадратному уравнению 
с последующим решением двух двучленных уравнений 
и 
( и - корни соответствующего квадратного уравнения).Если
и 
, то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня: 
, 
.Если
, 
[3]), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня 
и мнимых сопряженных корня: 
.Если
и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня: 
, .Уравнения четвертой степени
Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.
Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени
можно избавиться от члена
подстановкой 
. Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю: 
.Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде
, где левая часть – квадрат выражения 
, а правая часть – квадрат линейного уравнения 
от 
, коэффициенты которого зависят от 
. После этого останется решить два квадратных уравнения: 
и 
. Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра 
. Удобно взять в виде 
, тогда уравнение перепишется так:
. (15)Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от
. Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е. 
, или 
.Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно
оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень 
. При 
правая часть уравнения (15) принимает вид 
,а само уравнение сводится к двум квадратным:
.Их корни и дают все решения исходного уравнения.
Решим для примера уравнение
.Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде
и добавим к обеим частям выражение
, чтобы в левой части образовался полный квадрат: 
.Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:
,или, после упрощения,
.Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена:
. После подстановки этого значения получим уравнение