откуда
. Корни образовавшихся квадратных уравнений - и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.Решение Декарта-Эйлера
подстановкой
приводится к "неполному" виду. (16)
Корни
, , , "неполного" уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений ,в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие
,причем
, и - корни кубичного уравнения .Уравнения высоких степеней
Разрешимость в радикалах
Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени
( ) можно "обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:
Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.
Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида
, ,с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.; опубликован в 1846 г.).
Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.
Уравнения, которые решаются
Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.
В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:
Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель - делителем старшего коэффициента .
Для доказательства достаточно подставить в уравнение
и умножить уравнение на . Получим .Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на
, поэтому и делится на , а поскольку и - взаимно простые числа, является делителем . Доказательство для аналогично.С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа "кандидатов". Например, для уравнения
,старший коэффициент которого равен 1, "кандидатами" будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел:
.Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,
остаток от деления многочлена на двучлен равен , т. е. .
Из теоремы непосредственно следует, что
Если - корень многочлена , то многочлен делится на , т. е. , где - многочлен степени, на 1 меньшей, чем .
Продолжая наш пример, вынесем из многочлена
множитель
. Чтобы найти частное , можно выполнить деление "уголком":