Уравнения и способы их решения (стр. 7 из 10)

0

Но есть и более простой способ. Он станет понятен из примера:

Теперь остается решить квадратное уравнение

. Его корни:

.

Метод неопределенных коэффициентов

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение

.

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с неизвестными (неопределенными) коэффициентами:

.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

.

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

в обеих частях, получим систему уравнений

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что

, тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта: , и . Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое разложение: . Этот способ решения называется методом неопределенных коэффициентов.

Если уравнение имеет вид

, где и - многочлены, то замена сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: и .

Возвратные уравнения

Возвратным алгебраическим уравнением называется уравнение четной степени вида

,

в которых коэффициенты, одинаково отстоят от концов, равны:

, и т. д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на и последующей заменой .

Рассмотрим, например, уравнение

.

Поделив его на

(что законно, так как не является корнем), получаем

.

Заметим, что

.

Поэтому величина

удовлетворяет квадратному уравнению

,

решив которое можно найти

из уравнения .

При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение

при любом можно представить как многочлен степени от .

Рациональные алгебраические уравнения

Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида

, (17)

где

и - многочлены. Далее для определенности будем полагать, что - многочлен m-й степени, а - многочлен n-й степени.

Множество допустимых значений рационального алгебраического уравнения (17)

задается условием

, т. е. , , ..., где , , ..., - корни многочлена .

Метод решения уравнения (17) заключается в следующем. Решаем уравнение

,

корни которого обозначим через

.

Сравниваем множества корней многочленов

и . Если никакой корень многочлена не является корнем многочлена , то все корни многочлена являются корнями уравнения (17). Если какой-нибудь корень многочлена является корнем многочлена , то необходимо сравнить из кратности: если кратность корня многочлена больше кратности корня многочлена , то этот корень является корнем (17) с кратностью, равной разности кратностей корней делимого и делителя; в противном случае корень многочлена не является корнем рационального уравнения (17).

П р и м е р. Найдем действительные корни уравнения

,

где

, .

Многочлен

имеет два действительных корня (оба простые):

, .

Многочлен

имеет один простой корень . Следовательно, уравнение имеет один действительный корень .