Уравнения и способы их решения (стр. 9 из 10)

При всех остальных значениях

уравнение решений не имеет, т. е. множество его решений – пустое множество.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя определение модуля. Так, например, решение уравнения

(21)

сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.

1) Если

, то уравнение (21) приводится к виду

. (22)

Решения этого уравнения:

. Условию

удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является корнем уравнения (21).

2) Если

, уравнение (21) приводится к виду

Корнями этого уравнения будут числа

. Первый корень

не удовлетворяет условию

и поэтому не является решением данного уравнения (21).

Таким образом, решениями уравнения (21) будут числа 3 и

Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом, что решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение

. (23)

Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось на три промежутка (рис. 1):

0 3 x

рис. 1.

1) При

уравнение (23) приводится к виду

В промежутке

последнее уравнение решений не имеет.

Аналогично, при

уравнение (23) приводится к виду

и в промежутке

решений не имеет.

2) При

уравнение (23) приводится к виду

т. е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение

является решением уравнения (23).

Трансцендентные уравнения

Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением [4]).

Простешими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

Показательные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением, решение которого сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение вида

, (24)

где

- некоторые положительные числа

. Показательное уравнение (24) эквивалентно алгебраическому уравнению

В простейшем случае, когда

, показательное уравнение (24) имеет решение

Множество решений показательного уравнения вида

, (25)

где

- некоторый многочлен, находится следующим образом.

Вводится новая переменная

, и уравнение (25) решается как алгебраическое относительно неизвестного

. После этого решение исходного уравнения (25) сводится к решению простейших показательных уравнений вида (24).

П р и м е р 1. Решить уравнение

Записывая уравнение в виде

и вводя новую переменную

, получаем кубическое уравнение относительно переменной

Нетрудно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет единственный рациональный корень

и два иррациональных корня:

Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению простейших показательных уравнений:

Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество решений первого и второго уравнений:

Н е к о т о р ы е п р о с т е й ш и е п о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я:

1) Уравнение вида

заменой

сводится к квадратному уравнению

2) Уравнение вида

заменой

сводится к квадратному уравнению

3) Уравнение вида

заменой

сводится к квадратному уравнению

Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

, (26)

где

- некоторое положительно число, отличное от единицы,

- любое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению