Построение моделей статики по методике активного эксперимента (стр. 2 из 6)

Проверка воспроизводимости эксперимента есть не что иное, как проверка выполнения второй предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий

. Задача состоит в проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий при опытах соответственно в точках . Оценки дисперсий находят по известной формуле

. (4)

Рассчитанные для рассматриваемого примера по формуле (4) значения

занесены в последний столбец табл. 1.2.

Так как все оценки дисперсий получены по выборкам одинакового объема т = 5, то число степеней свободы для всех них одинаково и составляет

n_1вос = m – 1. (5)

В этом случае для проверки гипотезы об однородности оценок

дисперсий следует пользоваться критерием Koxpэнa, который основан на законе распределения отношения максимальной оценки дисперсии к сумме всех сравниваемых оценок дисперсий, т.е.

. (6)

Если вычисленное по данным эксперимента (эмпирическое) значение критерия G окажется меньше критического значения G_кр, найденного по таблице для n_1вос = m – 1 и n_2вос = N и выбранного уровня значимости q_вос = 0,05 (в данном случае Gкр=0,391), то гипотеза об однородности выборочных дисперсий отвечает результатам наблюдений.

1.4 Получение математической модели объекта

При ПФЭ получаются независимые оценки b₀, b_i, b_il соответствующих коэффициентов модели b₀, b_i, b_il, т.е. b₀ ® b₀, b_i® b_i, b_il® b_il. Эти оценки легко найти по формулам

, , , (9)

, . (10)

Таблица 1.3

b0	204,7275
b1	15,9775
b2	13,8275
b3	60,0975
b12	0,4075
b13	4,1575
b23	2,6575
b123	0,2275

Рассчитанные значения коэффициентов приведены в таблице 1.3.

После определения оценок b коэффициентов регрессии необходимо проверить гипотезы об их значимости, т.е. проверить соответствующие нуль-гипотезы b = 0. Проверку таких гипотез производят с помощью критерия Стьюдента, эмпирическое значение которого

, (11)

где

– (12)

дисперсия оценки b коэффициента уравнения регрессии. Если найденная величина параметра t_i превышает значение t_кр, определенное из таблицы для числа степеней свободы n_зн = N(m – 1), при заданном уровне значимости q_зн = 0,05, то проверяемую нуль-гипотезу Н₀: b = 0 отвергают и соответствующую оценку b_i коэффициента признают значимой. В противном случае, нуль-гипотезу не отвергают и оценку b считают статистически незначимой, т.е. b = 0.

Рассчитанные значения критерия и значимость коэффициентов указаны в таблице 1.4.

Таблица 1.4

b0	t0	247,489	tтабл=2,036	значимый
b1	t1	19,31473	значимый
b2	t2	16,71565	значимый
b3	t3	72,65008	значимый
b12	t12	0,492615	незначимый
b13	t13	5,025878	значимый
b23	t23	3,212573	значимый
b123	t123	0,275018	незначимый

В данном варианте статистически незначимыми являются коэффициенты b₁₂, b₁₂₃, т.к. t₁₂,t₁₂₃<t_табл.

Математическую модель объекта составляют в виде уравнения связи отклика у и факторов x_i, включающего только значимые оценки коэффициентов.

(13)

1.5 Проверка адекватности математического описания

Чтобы проверить гипотезу об адекватности математического описания опытным данным, достаточно оценить отклонение предсказанной по полученному уравнению регрессии величины отклика

от результатов наблюдений в одних и тех же g-х точках факторного пространства.

Рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии, оценивающего истинную функцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности

, (14)

где d – число членов аппроксимирующего полинома (значимых оценок коэффициентов модели объекта). Дисперсия адекватности определяется с числом степеней свободы

n_ад = N – d. (15)

Для данного варианта в соответствии с формулой (14) получим

.

Проверка гипотезы об адекватности состоит, по сути дела, в выяснении соотношения между дисперсией адекватности

и оценкой дисперсии воспроизводимости отклика . Проверку гипотезы об адекватности производят с использованием F-критерия Фишера. Критерий Фишера позволяет проверить гипотезу об однородности двух выборочных дисперсий и . В том случае, если ,F-критерий характеризуется отношением

. (16)

Если вычисленное по результатам наблюдений эмпирическое значение критерия F меньше критического F_кр, найденного из таблице для соответствующих степеней свободы:

n_1ад = N – d , n_2ад = n_зн = N(m – 1) , (17)

при заданном уровне значимости q_ад (обычно q_ад = 0,05), то гипотезу об адекватности не отвергают. В противном случае гипотезу отвергают и математическое описание признается неадекватным.

В данном случае n_1ад =2, n_2ад =32, табличное значение критерия F_кр=3,302. Таким образом, модель признается адекватной.

2 Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта

При оптимизации многофакторного объекта основным этапом является получение математической модели, адекватно описывающей статический объект в изучаемом диапазоне изменения его входных переменных (факторов). При этом естественно стремиться к тому, чтобы математическое описание было возможно более простым при максимуме подобия, особенно при разработке способов и систем оптимального управления, когда важно достичь или поддерживать глобальный, а не локальный или частный экстремум. Однако решение этой задачи в реальных условиях обычно связано с серьезными трудностями, вызванными весьма большим количеством переменных

, в той или иной степени влияющих на объект.