Комплексные числа избранные задачи (стр. 11 из 20)

Ответ:

;

Задача 53. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию

Решение

Пусть

, тогда

и, значит,

. Исходное неравенство перепишется так:

. Последнее неравенство можно заменить системой двух условий:

, или

Искомое множество изображено на рис. 28. Отметим, что граница множества (прямая

) принадлежит ему за исключением точки (0; 0).

Рис. 28.

Задача 53. Множество точек комплексной плоскости определяется условие

. В каких пределах изменяется

Решение

Множество точек, заданное условием

, определяется на комплексной плоскости круг с центром в точке

и радиусом 1. такой круг в системе координат xOy задается неравенством

Пусть

, тогда

. Задача сводиться к определению границ, в которых может изменяться соотношение

при условии

. Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях

система

имеет хотя бы одно решение?

Последняя система равносильна следующей:

или

Эта система имеет решения тогда, когда имеет решение квадратное неравенство

. Так как коэффициент при

положителен, то оно имеет решения, если дискриминант квадратного трехчлена в его левой части неотрицателен. Имеем

при

Ответ:

2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Пусть вектор

задается на комплексной плоскости числом

Обозначим через φ угол между положительной полуосью Ox и вектором

(угол φ считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае).

Рис. 29

Обозначим длину вектора

через r. Тогда

. Обозначим также

Тогда

Запись отличного от нуля комплексного числа z в виде

(2)

называется тригонометрической формой комплексного числа z. Число r называется модулем комплексного числа z, а число φ называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Argz.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа – (формула Эйлера) – показательная форма записи комплексного числа:

У комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов: если φ0 – какой-либо аргумент числа z, то все остальные можно найти по формуле

Для комплексного числа

аргумент и тригонометрическая форма не определяются.

Таким образом, аргументом отличного от нуля комплексного числа

является любое решение системы уравнений:

(3)

Значение φ аргумента комплексного числа z, удовлетворяющее неравенствам

, называется главным и обозначается argz.

Аргументы Argz и argz связаны равенством

, (4)

где

Формула

(5), является следствием системы (3), поэтому все аргументы комплексного числа

удовлетворяют равенству (5), но не все решения φ уравнения (5) являются аргументами числа z.

Главное значение аргумента отличного от нуля комплексного числа

находиться по формулам:

Формулы умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеют следующий вид:

. (6)

. (7)

При возведении в натуральную степень комплексного числа используется формула Муавра:

. (8)

При извлечении корня из комплексного числа используется формула:

, (9)

где k=0, 1, 2, …, n-1.

Задача 54. Вычислите

, где

Решение

Представим решение данного выражения в показательной форме записи комплексного числа:

Если

, то

Тогда

. Поэтому

, тогда

, где

Ответ:

, при

Задача 55. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а)

; б)

; в)

; г)

; д)

; е)

; ж)