Комплексные числа избранные задачи (стр. 14 из 20)
, 
, 
.Ответ:
; 
; 
; 
; 
.Задача 65. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам:
. (2-й способ решения задачи 45)Решение
Пусть
.Тогда
.Комплексным числам, имеющим одинаковые модули, соответствуют точки плоскости, лежащие на окружности с центром в начале координат, поэтому неравенству
удовлетворяют все точки открытого кольца, ограниченного окружностями с общим центром в начале координат и радиусами 
и 
(рис. 31). Пусть некоторая точка комплексной плоскости соответствует числу w0. Число 
, имеет модуль, в раз меньший модуля w0, аргумент, на 
больший аргумента w0. С геометрической точки зрения точку, соответствующую w1, можно получить, используя гомотетию с центром в начале координат и коэффициентом 
, а также поворот относительно начала координат на угол против часовой стрелки. В результате применения этих двух преобразований к точкам кольца (рис. 31) последнее перейдет в кольцо, ограниченное окружностями с тем же центром и радиусами 1 и 2 (рис. 32). 
Рис. 31.
Рис. 32.
Преобразование
реализуется с помощью параллельного переноса на вектор 
. Перенося кольцо с центром в точке 
на указанный вектор, получим кольцо такого же размера с центром в точке (рис. 22).Предложенный способ, использующий идею геометрических преобразований плоскости, наверное, менее удобен в описании, но весьма изящен и эффективен.
Задача 66. Найдите
, если 
.Решение
Пусть
, тогда 
и 
. Исходное равенство примет вид 
. Из условия равенства двух комплексных чисел получим 
, 
, откуда 
, 
. Таким образом, 
.Запишем число z в тригонометрической форме:
, где 
, 
. Согласно формуле Муавра, находим 
.Ответ: – 64.
Задача 67. Для комплексного числа
найдите все комплексные числа 
, такие, что 
, а 
.Решение
Представим число
в тригонометрической форме: 
. Отсюда 
, 
. Для числа получим 
, 
может быть равен 
либо 
.В первом случае
, во втором 
.Ответ:
, 
.Задача 68. Найдите сумму таких чисел
, что 
. Укажите одно из таких чисел.Решение
Заметим, что уже из самой формулировки задачи можно понять, что сумма корней уравнения можно найти без вычисления самих корней. Действительно, сумма корней уравнения
есть коэффициент при 
, взятый с противоположным знаком (обобщенная теорема Виета), т.е. 
.Приведем и другое возможное обоснование. Пусть
– корень уравнения. Тогда 
также является его корнем, поскольку 
, и сумма всех корней равна нулю.Допустимо и такое решение. Представив правую часть исходного уравнения в тригонометрической форме, получим
. Отсюда 
, где 
.Далее вычисляем сумму четырех корней, которая равна нулю.
Ответ:
; 
– одно из таких чисел.2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений
3- и 4-й степени
Рассмотрим решение кубического уравнения
(1)на конкретном примере.
Пример 1. Решите уравнение
.Решение. Приведем сначала наше уравнение к уравнению, не содержащему квадрат неизвестной (такое уравнение называется приведенным), т.е. к уравнению вида:
,для чего произведем подстановку:
Получим уравнение:
.Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению:
,где
, 
и 
(Замечание.
Переход к приведенному кубическому уравнению можно осуществить с помощью схемы Горнера, разложив многочлен
по степеням двучлена 
)