Комплексные числа избранные задачи (стр. 16 из 20)
Ответ: 2;
; 
.Задача 70. Решите уравнение
.Решение
Положив
, получаем приведенное уравнение относительно неизвестной переменной y: 
.По формулам Кардано:
.Легко видеть, что
.Следовательно, число
является одним из значений кубическогокорня из комплексного числа
(тот же результат получается, если применить формулу извлечения корня n-й степени из комплексного числа).Таким образом,
, 
, тогда 
, 
.Итак,
, 
, 
.Отсюда находим корни квадратного уравнения:
, 
, 
.Ответ:
; 
; 
.Задача 71. Не решая следующие уравнения, определите характер корней каждого их них:
а)
;б)
;в)
.Решение.
а)
.Дискриминант
, т.е. 
, то уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.б)
.Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:
(б*). Откуда дискриминант 
, т.е. 
, то уравнение (б*), а, значит, и (б) имеет три различных действительный корня.в)
.Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:
(в*). Отсюда 
, , то уравнение (в*), а, значит, и уравнение (в) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.Ответ: а) один действительный и два комплексно сопряженных корня; б) три различных действительный корня; в) один действительный и два комплексно сопряженных корня.
Задача 72. Решите уравнения: а)
;б)
.Решение.
а)
.Переходя к приведенному кубическому уравнению с помощью подстановки 
, получим уравнение: 
, где 
, 
.Зная, что:
; 
; 
.По формулам Кардано:
Таким образом, получаем
, значит 
, 
, 
, 
.Следовательно,
; 
; 
.Откуда,
, 
, 
.б)
.Переходить к приведенному кубическому уравнению не нужно, так как исходное уравнение само является приведенным, причем
, 
.Таким образом, получаем:
, 
.Тогда
, 
, 
, 
.Следовательно,
, 
.Ответ: а)
, , ;б)
, .Задача 73. Решите уравнения: а)
;б)
.Решение.
а) Преобразуем уравнение
(а) по методу Феррари: 
, 
, 
. (а*)Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:
Откуда с учетом равенства (а*) находим:
, 
(а**).Теперь подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант
правой части равенства (а**) обратился в нуль.
Дискриминант Dравен нулю тогда и только тогда, когда число rявляется корнем уравнения:
; 
; 
.В частности,
, если 
.Подставив найденное значение
в равенство (а*), получим: 
, или 
.