Комплексные числа избранные задачи (стр. 17 из 20)
Откуда,
, 
, 
или 
.Следовательно,
; 
; 
; 
.б)
.Преобразуем это уравнение по методу Феррари:
, 
, 
. (б*)Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:
Откуда с учетом равенства (б*) находим:
(а**).Подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант квадратного трехчлена в правой части равенства (а**) обратился в нуль.
Легко видеть, что дискриминант Dравен нулю, если
. следовательно, подставив значение в равенство (б**), получим: 
; 
.Откуда,
, 
или 
.Следовательно,
; 
; 
; 
.Ответ: а)
; 
.б)
; 3; 1.2.5. Комплексные числа и параметры
«Параметр (от греч.
- отмеривающий) величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.Например, уравнение
, где а > 0, х 
R, y R, задает множество всех концентрических окружностей, с центром (2; 1) радиуса а (рис. 33). 
Рис. 33.
Если а = 1, то получим окружность 1), если а = 2, то - окружность 2) и т.д.
Интересно и следующее определение параметра «Неизвестные величины, значения которых задаем мы сами, называются параметрами».
Пусть, например, нужно решить уравнение
. Вряд ли легко мы справимся с этим уравнением, если будем решать относительно x, считая aпараметром.Лучше сначала считать х параметром и решать квадратное относительно а уравнение
, а затем поменять xи aролями.Получим
Остается решить два уравнения 
что труда уже не составит.Прежде, чем перейти к решению задач, содержащих комплексные числа и параметр, сформулируем определения основных понятий, связанных с уравнениями (неравенствами) с параметром.
Определение 1. Пусть дано равенство с переменными x и a:
. Если ставится задача для каждого действительного значения, а решить это уравнение относительно x, то уравнение называется уравнением с переменной x и параметром a.Параметр обычно обозначается первыми буквами латинского алфавита: а, b, с, d...
Переменная, относительно которой решается уравнение последними буквами латинского алфавита: x, у, z, t, и, v.
Определение 2. Под областью определения уравнения
с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых 
имеет смысл.Иногда область определения уравнения устанавливается довольно легко, а иногда в явном виде это сделать трудно. Тогда ограничиваемся только системой неравенств, множество решений которой и является областью определения уравнения.
Определение З. Под решением уравнения
c параметром a будем понимать систему значений x и aобласти определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство.Определение 4. Решить уравнение
с параметром a - это значит, для каждого действительного значения a найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.Определение 5. Уравнения
и 
равносильны при фиксированном значении а = а0, если уравнения без параметра 
и 
равносильны.Определение 6. Уравнение
является следствием уравнения при некотором значении a=а0, если множество решений уравнения содержится среди множества решений уравнения .Задача 74. Определите семейство линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями:
а)
; б) 
.Решение
а)
. О.О.У.: 
, 
Решаем уравнение (1).
1) Пусть
: 
получим уравнение оси абсцисс, исключая начало координат.2)
: 
, 
. Это семейство концентрических окружностей с центром в точке 
радиуса 
.б)
.Пусть
, тогда 
. И 
.1) Если
, то полу чаем семейство из двух прямых с уравнениями 
и 
.2) Если
, то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями 
, с вершинами в точках 
, 
и асимптотами и .