Комплексные числа избранные задачи (стр. 19 из 20)
Изобразим графически решение в данных случаях (рис. 36).
Рис. 36.
Ответ:
.Задача 79. Для каждого действительного числа a найдите все комплексные числа
, удовлетворяющие равенству: а) 
;б)
.Решение
а) Пусть
, тогда из исходного уравнения имеем 
.Отсюда получаем систему для нахождения x и y:
из которой следует, что
. Подставляя это значение x в первое уравнение, имеем 
. Корни этого уравнения действительны тогда и только тогда, когда его дискриминант является действительным числом, т. е. 
. Для этих значений a найдем 
причем 
, то 
. Неравенство 
выполняется для всех a из промежутка 
. Таким образом, исходное уравнение при имеет два корня: 
, 
при 
решений не имеется.б) Перепишем данное уравнение в виде
. Так как 
и a – действительные числа, то отсюда заключаем, что число z является чисто мнимым числом.Пусть
, тогда из исходного уравнения находим, что 
, т. е. 
.Последнее уравнение равносильно совокупности двух систем:
Уравнение
имеет два корня: 
при любом значении a. Неравенству 
удовлетворяет (при любом значении a) только число 
.Уравнение
второй системы совокупности имеет действительные решения только при условии 
, т. е. при 
. Корнями этого уравнения при каждом являются числа 
.Ясно, что при
оба корня 
и 
меньше нуля, а при 
– больше нуля.Таким образом, исходное уравнение:
при
имеет один корень 
;при
имеет три корня 
, 
, 
.Ответ: а) при
, то , б) при
, то ;при
, то , , .Задача 80. Для каких действительных чисел a не существует комплексных чисел z, для которых выполняются равенства
, 
?Решение
Заметим, что
равняются расстоянию между точками 
и 
на комплексной плоскости. При фиксированном a точки , для которых , лежат на окружности с центром в 
и радиусом 2. (Вообще, множество , для которых 
, есть окружность с центром в 
и радиусом 
). Аналогично равенство . Две окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами больше суммы или меньше разности радиусов. Таким образом, должно выполняться одно из двух неравенств: 
или 
, т.е. 
или 
.Ответ:
или .Задача 81. При каких действительных чисел a любое комплексное число, удовлетворяющее уравнению
, удовлетворяет одновременно и неравенству 
?Решение
Пусть
. Тогда 
и получим уравнение 
Если
, то имеем уравнение окружности с центром в точке 
и 
. От неравенства перейдем к неравенству 
Рассмотрим ряд случаев в зависимости от значений a.
1.
, т.е. 
. Неравенство (2) выполняется при любых парах действительных значений x и y, в том числе и при решениях уравнения (1).2. Пусть
: 