Комплексные числа избранные задачи (стр. 2 из 20)
.5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:
.6.
.7.
.8.
.9. Любому комплексному числу
соответствует противоположное комплексное число 
такое, что 
.10. Всякому комплексному числу
отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число 
такое, что 
.Степени мнимой единицы.
Если натуральный показатель степени m при делении на 4 дает в остатке r, т.е. если
, где n – натуральное число, то 
;при этом
Комплексное число
называется сопряженным комплексному числу , если 
.Свойства операции сопряжения.
1.
2. Для любого действительного числа a справедливо равенство
3. Для любого действительного числа b справедливо равенство
4.
5.
Следствие из 5.
6.
7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.
Следствие из 7.
Модулем комплексного числа
называется действительное число вида 
.8. Теорема о сопряженном корне.
Если число
является корнем уравнения 
(1)с действительным коэффициентами a0 , a1 , …, an , то число
также является корнем уравнения (1).Извлечение квадратного корня из комплексного числа
. Пусть 
,где x и y– действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем
.Что равносильно системе
Решая эту систему, получаем:
; 
.Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле
.В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если
, и знак минус, если 
.Задача 1. Найдите комплексные корни уравнения
, если:а)
; б) 
; в) 
.Решение
а)
.Так как
, то это уравнение можно записать в виде 
или 
. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем 
, откуда 
, 
.б)
.Учитывая, что
, преобразуем это уравнение: 
, 
, 
, 
, откуда 
, 
.в)
.Преобразуем
, 
, 
, откуда 
, 
.Ответ: а)
; б) 
; в) 
.Задача 2. Найдите x и y, для которых
.Решение
Получим и решим систему двух уравнений:
Ответ:
.Задача 3. Решите уравнение
относительно действительных переменных x и y.Решение
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду
, получаем уравнение равносильное данному: 
. Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе: 
Ответ:
.Задача 4. При каких действительных значениях x и y комплексные числа
и 
будут противоположными?Решение
Комплексные числа
и 
будут противоположными, если выполняются условия: 
