Комплексные числа избранные задачи (стр. 4 из 20)
Ответ:
.Задача 14. Вычислите
; 
; 
; 
.Решение
С помощью формулы:
Легко получаем:
; 
; 
; 
.Ответ:
; 
; 
; 
.Задача 15. Выполните указанные действия:
.Решение
Вычислим значение дроби
.Следовательно,
Ответ:
.Задача 16. Решите уравнение
.Решение
По формуле
, находим: 
.Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными:
и 
. Найдем сумму и произведение этих корней: 
, 
. Число 4 – это второй коэффициент уравнения 
, взятый с противоположным знаком, а число 13 – свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если 
и 
– корни уравнения 
, где 
, 
.Ответ:
.Задача 17. Составьте приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющий корень
.Решение
Второй корень
уравнения является числом, сопряженным с данным корнем , то есть 
. По теореме Виета находим 
; 
,где число 2 – это второй коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 5 – свободный член. Таким образом, получаем уравнение
.Ответ:
.Задача 18. Даны числа
; 
. Найдите:а)
; б) 
.Решение
а)
, тогда 
б)
, тогда 
Ответ: а) 
; б) 
.Задача 19. Зная, что корнем уравнения
является число 
, найдите все корни данного уравнения.Решение
Поскольку все коэффициенты данного уравнения – действительные числа, то на основании теоремы о сопряженном корне, делаем вывод, что число
также является корнем данного уравнения.Пусть
– неизвестный корень уравнения , тогда 
, где 
, получаем 
.Разделим обе части последнего равенства на
, получим 
.Следовательно,
.Ответ:
; 
.Задача 20. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.
Решение
Пусть
– искомое комплексное число, где x и y – действительные числа. Тогда число 
, сопряженное числу 
, равно 
.По условию задачи имеем:
, т.е. 
.Преобразовав это уравнение, получим:
.Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системе уравнений с действительными переменными x и y:
Возможны два случая:
1)
. Тогда система равносильна системе: 
, котораяимеет следующие решения:
; 
.2)
. Тогда система равносильна системе 
, которая имеет два решения: 
и 
.Итак, искомых чисел четыре:
; 
; 
, из них два числа и 
– действительные, а два других и 
– комплексно сопряженные.Ответ:
; 
; 
.