Комплексные числа избранные задачи (стр. 5 из 20)
Задача 21. Известно, что
, 
. Найдите:а)
; б) 
.Решение
а)
,б)
.Ответ: а)
; б) 
.Задача 22. При каких действительных значениях x и y комплексные числа
и 
будут сопряженными?Решение
Комплексные числа
и 
будут ком-плексно сопряженными, если выполняются условия:
Ответ:
; 
.Задача 23. Докажите тождество
.Решение
Пусть
, 
, 
. Тогда 
, 
, 
, 
, 
, 
.Отсюда легко следует доказываемое тождество.
Задача 24. Докажите, что если число
является чисто мнимым, то 
.Решение
По условию
, где b – действительное число, тогда 
, 
, 
.Тождество доказано.
Задача 25. Пусть
. Докажите, что 
.Решение
Поскольку
, то 
Тождество доказано.
Задача 26. Решите уравнение
.Решение
Пусть
. Тогда данное уравнение запишется в виде 
, откуда 
. Комплексное число равно нулю, тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю; поэтому для нахождения неизвестных x и y получим систему: 
Из второго уравнения этой системы находим: x=0 и y=0. При x=0 первое уравнение системы запишется в виде
или 
. Отсюда находим 
или 
. Таким образом, числа 
, 
, 
являются решениями данного уравнения.При y=0 для нахождения x получаем уравнение
. Отсюда следует, что x=0, и тем самым 
.Ответ:
; 
; 
.Задача 27. Решить систему уравнений:
Решение
Полагая
, имеем 
следовательно,
и 
.После преобразований данная система принимает вид
Решение полученной системы является пары
и 
. Таким образом, исходная система имеет два решения 
и 
.Ответ:
; 
.Задача 28. Докажите, что если
, то 
.Решение
Предположим, что существует такое комплексное число
, 
, для которого выполнено неравенство 
. Тогда 
, или 
.Поскольку
то
и 
– действительные числа. Поэтому из последнего неравенства получим неравенство: 
.Следовательно,
.Полученное противоречие доказывает утверждение.
Задача 29. Решите уравнение
.Решение
По формулам корней квадратного уравнения имеем:
.Извлекая корень квадратный из числа
, получаем 
.Следовательно,
; 
.Ответ:
; 
.