Комплексные числа избранные задачи (стр. 6 из 20)
Задача 30. Извлеките квадратный корень из комплексного числа
.Решение
Пусть
, где 
.По формуле
Таким образом
.Ответ:
.Задача 31. Решите уравнение:
.Решение
Имеем
, 
, 
.Получаем
Извлечем квадратный корень из комплексного числа
по формулам: 
; 
; 
Так как
, 
Тогда 
Итак,
, тогда 
Где
и 
Можно сделать проверку по теореме Виета:
и 
.Ответ:
; 
.Задача 32.
Пусть
, 
. При каких действительных значениях a и b выполняется условие 
?Решение
Находим
.Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему
Ответ:
.2. 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Введем на плоскости прямоугольную систему координат xOy и поставим в соответствии каждому комплексному числу
точку плоскости с координатами (a; b). Полученное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует единственное комплексное число (см. рис. 1). 
Рис. 1
Таким образом, z одновременно обозначают и комплексное число, и точку, изображающую это комплексное число.
Комплексное число
называется комплексной координатой точки (a; b).Поскольку при указанном соответствии действительные числа
изображаются точками оси абсцисс, то ось Ox называется действительной осью. Ось Oy, на которой лежат чисто мнимые числа 
, называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.Комплексное число
может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b) (см. рис. 1). По определению модуля комплексного числа 
,модуль комплексного числа равен длине вектора
.Задача 33. Изобразите на комплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:
Решение
Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.
Покажем их.
Рис.2
Задача 34. Найдите комплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны
и 
соответственно.Решение
Обозначим середину отрезка AB через O1. Тогда
.Учитывая, что комплексная координата вектора равна
, получим 
.Ответ:
.Задача 35. Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия:
а)
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
,е)
, ж) 
, з) 
, и) 
, к) 
.Решение
а)
. Из равенств 
и 
, получаем: 
.Множество точек – прямая
(рис. 3). 
.
(рис. 4).