Комплексные числа избранные задачи (стр. 7 из 20)

Рис. 4.

в)

. Из равенств и , получаем: .

Множество точек – прямая

(рис. 5).

Рис. 5.

г)

, , и . Следовательно, .

Множество точек – левая относительно прямой

полуплоскость, включая прямую (рис. 6).

Рис. 6.

д)

. , поэтому .

Множество точек – прямая

. (рис. 7).

Рис. 7.

е) Если

, то условия и означают, что и . Множество точек – часть плоскости, ограниченная снизу прямой , справа , исключая указанные прямые (рис. 8).

Рис. 8.

ж) Если

, то , и условие означает, что , т.е. . Множество точек – прямая (рис. 9).

Рис. 9.

з) Если

, то при условие, что сумма отлична от нуля, имеем , поэтому . Следовательно, , откуда получаем уравнение:

, или .

Преобразуем его

.

Таким образом, множество точек – это окружность с центром в точке O

радиуса , у которой «выколота» точка (рис. 10).

Рис. 10.

и)

; по условию , следовательно, .

Множество точек – окружность с центром в начале координат

радиуса 1.

к) По условию

, поэтому , т.е. , , , . Последнее условие означает, что либо , либо . В первом случаи получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку . Учитывая, что , т.е. что действительная часть комплексного числа неотрицательна.

Приходим к выводу: искомое множество точек – положительная полуось Ox с началом в точке

.

Задача 36. Изобразите на плоскости XOY множество, всех точек

, удовлетворяющих условию:

а)

; б) ; в) ; г) ; д)

Решение

а)

. Для каждого число равно расстоянию между точкой и точкой . Поэтому заданному условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат на окружности радиуса 1 с центром в точке (рис. 11).

Рис. 11.

б)

. Для каждого число равно расстоянию между точкой и началом координат. Поэтому условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат внутри кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами и соответственно (рис. 12).

Рис. 12.

в)

. Из определения главного аргумента комплексного числа следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz(рис 13), образующем угол с положительным направлением оси Ох.

Рис. 13.

г)

. Пусть . Тогда данное соотношение перепишется в виде или .

Отсюда находим:

, т.е. .

Таким образом,

, и, следовательно, исходному соотношению удовлетворяют только те комплексные числа, для которых . Такие точки заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 14). Этот ответ можно получить из геометрических соображений, учитывая, что ось OX есть перпендикуляр к отрезку, соединяющий точки и , восстановленный из его середины.