Комплексные числа избранные задачи (стр. 8 из 20)
Рис. 14.
д)
Искомое множество точек есть пересечение кольца, ограниченного окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке 
, и второго квадранта (рис. 15). 
Рис. 15.
Задача 37. Докажите, что расстояние между точками
и 
равно 
.Решение
Так как
, а это иесть, как известно из геометрии, формула расстояния между двумя точками
и 
.Задача 38. Докажите, что если точка
не совпадает с точкой , то равенство 
задает уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину.Решение
Все точки
, удовлетворяющие равенству , равноудалены от точек и и поэтому, как это известно из геометрии, лежат на прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину. Обратно, все точки этой прямой, очевидно, удовлетворяют равенству , следовательно, это равенство является уравнением указанной выше прямой.Задача 39. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам
, для которых 
.Решение
Представим выражение
в виде разности двух комплексных чисел: 
. Тогда становится ясно, что равенство 
является уравнением окружности с центром в точке 
и радиусом 2.Неравенству
удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности 
, тогда неравенству 
соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям:
, поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 16). 
Рис. 16.
Задача 40. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию:
.Решение
Равенство
является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B (0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств 
, 
, следует равенство 
, а значит, 
, т.е. 
.Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 17).
Рис. 17.
Задача 41. Изобразите на плоскости комплексные числа
, удовлетворяющие условию: 
.Решение
. Следовательно, 
. Таким образом, 
, 
, то 
, 
, 
.Этим числам соответствуют три точки: A (
), B ( 
) и C ( 
). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 18). 
Рис. 18.
Задача 42. Изобразите на плоскости комплексные числа
, удовлетворяющие условию: 
.Решение
, значит, 
и 
.Получили две точки: B (
) и C ( 
) (рис. 19). 
Рис. 19.
Задача 43. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
.Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:
и 
. Если 
, где x и y – действительные числа, то получаем следующие неравенства: 
, 
, 
, 
, 
. Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20). 
Рис. 20.
Задача 44. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
.