Распределение Пуассона Аксиомы простейшего потока событий (стр. 3 из 8)
Решение.
; 
. Пусть в 
независимых наблюдениях событие 
произошло 
раз, т.е. 
. Таким образом, имеем 
, 
. Отсюда следует, что 
. Следовательно, 
есть наиболее правдоподобная оценка параметра 
. Случайная величина k биномиально распределена, 
; 
Следовательно, 
— несмещенная оценка вероятности, асимптотически состоятельная и асимптотически нормальная.Пример 1.2.2. Пусть случайная величина
распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром 
. Проведем выборку и получим значения 
( 
– целые числа). Пусть 
– набольшее из наблюдаемых в выборке чисел, 
– абсолютные частоты, с которыми числа 
появляются в выборке ; 
. Тогда согласно формуле (3.2) 
. Из соотношения получаем 
, откуда 
.Величина
есть, таким образом, правдоподобная оценка для и вместе с тем состоятельная, асимптотически нормально распределенная.Пример 1.2.3. Пусть случайная величина
распределена нормально с параметрами 
и 
. Их следует оценить исходя их выборки 
объема 
.Решение. Функция правдоподобия
,следовательно
.Согласно (2.5), получаем следующие уравнения для определения
и : 
; 
, откуда 
и 
. Следовательно, 
есть наиболее правдоподобная оценка параметров 
. Мы уже знаем, что 
не является несмещенной оценкой, а только асимптотически не смещена.1.3 Точечные оценки
Одной из задач математической статистики является оценка неизвестных параметров выбранной параметрической модели.
Очень часто в приложениях рассматривают параметрическую модель. В этом случае предполагают, что закон распределения генеральной совокупности принадлежит множеству
, где вид функции распределения задан, а вектор параметров 
неизвестен. Требуется найти оценку для 
или некоторой функции от него (например, математического ожидания, дисперсии) по случайной выборке 
из генеральной совокупности X.Например, предположим, что масса Xдетали имеет нормальный закон распределения, но его параметры
неизвестны. Нужно найти приближенное значение параметров по результатам наблюдений х, …, хп, полученным в эксперименте (по реализации случайной выборки).Как уже отмечалось , в математической статистике существуют два вида оценок: точечные и интервальные. В этой главе будут рассмотрены точечные оценки, а интервальным оценкам посвящена следующая глава.
1.3.1. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки
Пусть
— случайная выборка из генеральной совокупности X, функция распределения 
которой известна, а 
— неизвестный параметр, т.е. рассматривается параметрическая модель 
(для простоты изложения будем считать пока, что 
— скаляр).Требуется построить статистику
, которую можно было бы принять в качестве точечной оценки параметра 
.Интуитивно ясно, что в качестве оценки параметра
можно использовать различные статистики. Например, в качестве точечной оценки для 
можно предложить такие статистики: 
Какую же из этих статистик предпочесть? В общем случае нужно дать ответ на вопрос: какими свойствами должна обладать статистика
, чтобы она была в некотором смысле наилучшей оценкой параметра в? Рассмотрению требований к оценкам и методам их нахождения посвящена настоящая глава.Заметим, что в дальнейшем, как правило, будем говорить об оценке параметра
параметрической модели, хотя все сказанное можно перенести и на функцию от в.Определение 1.3.1.1 Статистику
называют состоятельной оценкой параметра 
, если с ростом объема выборки п она сходится по вероятности к оцениваемому параметру 
, т.е. 
Иными словами, для состоятельной оценки
отклонение ее от 
на величину е и более становится маловероятным при большом объеме выборки. Это свойство оценки является очень важным, ибо несостоятельная оценка практически бесполезна. Однако следует отметить, что на практике приходится оценивать неизвестные параметры и при малых объемах выборки.Естественным является то требование, при выполнении которого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра
.Определение 1.3.1.2. Статистику
называют несмещенной оценкой параметра 
, если ее математическое ожидание совпадает с 
, т.е. 
для любого фиксирован_испер.