Распределение Пуассона Аксиомы простейшего потока событий (стр. 5 из 8)

Вероятность попадания Х в этот участок равна

Найдём дисперсию случайной величины Х

Совершенно аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины, имеющей значения x1, x2, ... с вероятностями p1, p2, ... Тогда вместо интеграла во всех формулах ставится знак суммы, где суммирование ведётся по тем xi , для которых

|xi-MX|³a,

что и требовалось доказать.

Определение. Пусть имеется последовательность чисел

x1, x2, ... , xn , ...

Говорят, что эта последовательность сходится по вероятности к неслучайной величине а, если при неограниченном увеличении п вероятность события

{|Хп-а|< e},

(где e>0 - произвольное малое фиксированное число) стремится к единице, то есть

Иными словами, каковы бы ни были произвольно малые наперёд заданные числа e>0 и d>0 всегда существует N, такое, что при n>N

P{|Xn-a|<e}>1-d

Первая теорема Чебышева (Закон больших чисел). Пусть имеется случайная величина Х с медианой МХ и дисперсией DX. Над этой случайной величиной Х производится п независимых опытов, в результате которых она принимает значения Х1, Х2, ... , Хп (п “экземпляров” случайной величины Х). Пусть

Тогда последовательность

сходится по вероятности к MX:

Доказательство. Найдём MYn и DYn :

Применим к случайной величине Yn неравенство Чебышева, в котором положим a равным e, где e>0 — сколь угодно малое, наперёд заданное число.

Как бы ни было мало e, всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше сколь угодно малого положительного числа d; следовательно, при достаточно большом п

P{|Yn-MX|³e}<d

ÞP{|Yn-MX|<e}>1-d,

а это равносильно сходимости по вероятности Yn к MX

Замечание 1.5.1. Первую теорему Чебышева можно записать и иначе, если положить Zn:=Yn-MX

Замечание 1.5.2. Первая теорема Чебышева относится к случаю, когда случайные величины Х1, Х2, ... , Хп независимы и имеют одно и то же распределение, а значит одно и то же MX и DX.

Рассмотрим случай, когда условия производимых опытов меняются.

Вторая теорема Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х. Над ней производятся независимые опыты, в результате чего мы получаем последовательность

Х1, Х2, ..., Хn, ...

с различными, в общем случае, MХi и DXi (i=

). Пусть

Если DXi£D i=1, 2, ... , где D - некоторое положительное число, то

Доказательство.

(1.5.1)

Согласно неравенства Чебышева

или, учитывая (1.5.1), имеем

Как бы ни было мало произвольное наперёд заданное e, всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше произвольно малого d. Следовательно

,

что и требовалось доказать.

Замечание 1.5.3. При формулировке второй теоремы Чебышева нельзя говорить, что

так как

зависят от n, а понятие “сходимость по вероятности” определено нами только для постоянной а, не зависящей от n.

1.6 Понятие доверительного интервала

Будем считать, что независимая выборка

взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . Будем обозначать через распределение вероятностей, соответствующее значению неизвестного параметра.

Определение 1.6.1

-доверительным интервалом называется интервал вида где такой, что

Число

называют доверительной вероятностью.

Другими словами, доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с вероятностью

.

Значение доверительной вероятности

выбирается заранее, этот выбор определяется конкретными практическими приложениями.
Смысл величины -- вероятность допустимой ошибки. Часто берут значения и т.п.

Ниже мы приводим один из методов построения доверительных интервалов. Он состоит из трех этапов.

1. Выбираем функцию

, зависящую от выборки и от неизвестного параметра, такую, что ее функция распределения

не зависит от неизвестного параметра

.

2. Выбираем два числа

и таким образом, чтобы . Подбираем и , удовлетворяющие условиям

(6.1)

3. Таким образом,

(6.2)

причем

и не зависят от .

4. Решим двойное неравенство

относительно . В том случае, когда его решением является интервал, обозначим его левый и правый концы через и соответственно. Естественно, они зависят от выборки: , . В силу (6.2)

Следовательно,

-- искомый -доверительный интервал.

Замечание 1.6.1

Описанная процедура, разумеется, не является универсальной. Во-первых, вопрос о выборе функции

решается в каждом конкретном случае и по этому поводу нет общих рекомендаций. Во-вторых, совершенно не гарантировано, что решением неравенства в п. 3 будет интервал конечной длины. Вместе с тем, во многих важных случаях изложенный выше метод приводит к хорошим доверительным интервалам. Например, оправдано применение такого метода в случае, когда при каждой фиксированной выборке функция является строго монотонной и непрерывной по переменной .