Распределение Пуассона Аксиомы простейшего потока событий (стр. 6 из 8)

Замечание 1.6.2

В силу неоднозначности выбора функции

и чисел и , можно заключить, что -доверительный интервал неединственен.

1.7 Сравнение средних

Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства. Такую задачу сравнения двух генеральных средних при неравных генеральных дисперсиях принято называть проблемой Беренса-Фишера (по имени учёного У. Беренса опубликовавшего первую работу на эту тему в 1929 г.). В этом случае вместо одной общей генеральной дисперсии мы имеем дело с двумя неравными генеральными дисперсиями: σ₁² ≠ σ₂². Соответственно имеем и две выборочные дисперсии s₁² и s₂². Тогда искомая t-статистика будет вычисляться по следующему выражению [1.7.1]:

(1.7.1)

Введём обозначения: θ= σ₁² / σ₂² , u = s₁² / s₂² и N= n₁/ n₂ . В этом случае выражение (1.7.1) можно переписать в следующем виде [(1.7.1)]:

(1.7.2).

Основная сложность этого случая заключается в том, что подкоренное выражение в знаменателе не имеет Хи-квадрат распределение, и потому статистика t не имеет распределения Стьюдента. В 40-60-е годы 20 века Бокс, Уэлч, Саттерзвайт, Кохрэн, Боно, Шеффе и многие другие статистики провели детальный анализ этой проблемы. Так в 1938 г. Уэлч исследовал приближённое распределение статистики (1.7.1) и показал, что при равных объёмах выборок n₁ = n₂ незнание величины θ= σ₁² / σ₂² не очень сильно влияет на итоговый результат. Однако для случая неравных объёмов выборок ошибки становятся весьма значительными. Другие подходы позволяли аппроксимировать статистику (1.7.2) распределение Стьюдента с дробными степенями свободы.

1.8 Метод минимума X².

Метод минимума X² применим лишь и случае группированного непрерывною распределения или дискретного распределения. Оценки, получаемые этим методом, при больших п асимптотически эквивалентны оценкам, полученным с помощью более простого видоизмененного метода минимума X², выражаемого уравнениями

(1.8.1)

или

(1.8.2)

в рассматриваемых случаях последний метод совладает с методом максимума правдоподобия.

Основная теорема о предельном распределении X² для случая, когда некоторые параметры оцениваются по выборке что оценки находятся с помощью видоизмененного метода минимума X². Однако там же было указано, что имеется целый класс методов нахождения оценок, приводящих к тому же самому предельному распределению для X². Теперь мы докажем это утверждение.

Асимптотические выражения для оценок, получаемых с помощью видоизмененного метода минимума X² были приведены в явной форме

(1.8.3)

для общего случая у неизвестных параметров а₁,...,а_г. Предположим, что выполнены условия 1)—3) предыдущего параграфа или аналогичные условия для дискретного распределения. Тогда из предыдущего параграфа следует, что оценки (1.8.3)асимптотически нормальны (это уже было показано в параграфе 30.3) и асимптотически эффективны.

Во всех множествах асимптотически нормальных и асимптотически эффективных оценок для параметров имеются члены порядка n^-1/2 такие же, как и в (1.8.3). Однако из вывода предельного распределения для у² следует, что это предельное распределение полностью определяется членами порядка n^-1/2в (1.8.3). Действительно, по формулам

и

получаем

и показывает,что предельное распределение для .у = ( , .... ) определяется именно указанными членами.

Таким образом, теорема о предельном распределении величины X² справедлива для любого множества асимптотически нормальных и асимптотически-эффективных оценок параметров.

1.9 Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения 0, 1, 2, ... , т, ... (бесконечное, но чёткое множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой:

x	0	1	…	k	…
P	e-l	le-l	…		…

Числоl называется параметром распределения.

Простейший поток событий – такая последовательность событий, происходящих в случайный момент времени.

Поток событий называется пуассоновским, если он удовлетворяет аксиомам простейшего потока событий:

При таких допущениях с большой степенью точности выполняются следующие условия:

1. Отсутствие последействия: вероятность того, что на произвольном временном промежутке (с точки зрения длины и расположения на временной оси) не зависит от того, что происходило в момент времени, предшествующему этому моменту.

2. Однородность потока: Вероятность того, что на некотором временном промежутке произойдет 0,1,2,…,nсобытий зависит только от его длины и не зависит от положення этого отрезка на временной оси.

3. Пусть Dt - длина временного промежутка, тогда:

(Dt)=lDt+o(Dt), Dt®0.

4.

(Dt)=1-lDt+o(Dt), Dt®0.

Математическое ожидание распределения Пуассона равно:

M

=

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Вариант 23

Задача 1

На отрезок единичной длины

наугад ставится точка. Вычислить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превышает величину .

Решить задачу при

, .

Решение:

Пусть дан отрезок

длины (Рис. 2.1). Расстояние от точки до концов отрезка превышает величину в том случае, если , где , .

Рис. 2.1

Пусть А – событие, когда

. Тогда искомая вероятность .

Для заданных значений

и .

Задача 2

В круг радиуса R наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, которые имеют площади

и .

Решить задачу при

, , .

Решение:

Поскольку фигуры не пересекаются, то площадь, в которую должна попасть точка, равна

. Общая площадь, в которую может попасть точка, равна . Таким образом искомая вероятность . Для заданных значений , и .