Изгиб бруса (стр. 1 из 6)

Введение.

Изгиб - вид деформации, характеризующийся искривлением (изменением кривизны) оси или срединной поверхности деформируемого объекта (бруса, балки, плиты, оболочки и др.) под действием внешних сил или температуры. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Если из шести внутренних силовых факторов в сечении бруса отличным от нуля является только один изгибающий момент, изгиб называется чистым: Если в поперечных сечениях бруса кроме изгибающего момента действует также поперечная сила – изгиб называется поперечным: В инженерной практике рассматривается также особый случай изгиба— продольный И. (рис. 1, в), характеризующийся выпучиванием стержня под действием продольных сжимающих сил. Одновременное действие сил, направленных по оси стержня и перпендикулярно к ней, вызывает продольно-поперечный изгиб (рис. 1, г).

Рис. 1. Изгиб бруса: а — чистый: б — поперечный; в — продольный; г — продольно-поперечный.

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изгиб называется плоским, если ось балки после деформации остается плоской линией. Плоскость расположения изогнутой оси балки называется плоскостью изгиба. Плоскость действия нагрузочных сил называется силовой плоскостью. Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения, изгиб называется прямым. (В противном случае имеет место косой изгиб). Главная плоскость инерции поперечного сечения - это плоскость, образованная одной из главных осей поперечного сечения с продольной осью бруса. При плоском прямом изгибе плоскость изгиба и силовая плоскость совпадают.Задача о кручении и изгибе бруса (задача Сен-Венана) имеет большой практический интерес. Приложение теории изгиба, установленной Навье, составляет обширный отдел строительной механики и имеет громадное практическое значение, так как оно служит основанием для расчета размеров и поверки прочности разнообразных частей сооружений: балок, мостов, элементов машин и пр.

ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§1. основные уравнения

Вначале дадим общую сводку основных уравнений для задач равновесия упругого тела, которые составляют содержание раздела теории упругости, называемого обычно статикойупругого тела.

Деформированное состояние тела вполне определяется тензором поля деформации

или полем перемещений Компоненты тензора деформации связаны с перемещениями дифференциальными зависимостями Коши :

(1)

Компоненты тензора деформации должны удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана:

(2)

которые являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости уравнений (1).

Напряженное состояние тела определяется тензором поля напряжений

Шесть независимых компонент симметричного тензора ( ) должны удовлетворять трем дифференциальным уравнениям равновесия:

(3)

Компоненты тензора напряжений

и перемещения связаны шестью уравнениями закона Гука:

(4)

где

некоторых случаях уравнения закона Гука приходится использовать в виде формулы

,(5)

где

Уравнения (1)—(5) являются основными уравнениями статических задач теории упругости. Иногда уравнения (1) и (2) называютгеометрическими уравнениями, уравнения (3) — статическими уравнениями, а уравнения (4) или (5) — физическими уравнениями. К основным уравнениям, определяющим состояние линейно-упругого тела в его внутренних точках объема

, необходимо присоединить условия на его поверхности Эти условия называются граничными условиями. Они определяются либо заданными внешними поверхностными силами либо заданными перемещениями точек поверхности тела. В первом случае граничные условия выражаются равенством :

(6)

где

— компоненты вектора tповерхностной силы, — компоненты единичного вектора п, направленного по внешней нормали к поверхности в рассматриваемой ее точке.

Во втором случае граничные условия выражаются равенством

(7)

где

— заданные на поверхности функции.

Граничные условия могут также иметь смешанный характер, когда на одной части

поверхности тела заданы внешние поверхностные силы а на другой части поверхности тела заданы перемещения:

(8)

Возможны и иного рода граничные условия. Например, на некотором участке поверхности тела заданы только некоторые компоненту

вектора перемещения и, кроме того, также не все компоненты вектора поверхностной силы.

§ 2. основные задачи статики упругого тела

В зависимости от вида граничных условий различают три типа основных статических задач теории упругости.

Основнаязадачапервоготипа состоит в определении компонент тензора поля напряжений

внутри области , занятой телом, и компонент вектора перемещения точек внутри области и точек поверхности тела по заданным массовым силам и поверхностным силам

Искомые девять функций должны удовлетворять основным уравнениям (3) и (4), а также граничным условиям (6).

Основнаязадачавтороготипа состоит в определении перемещений

точек внутри области и компонент тензора поля напряжений по заданным массовым силам и по заданным перемещениям на поверхности тела.

Искомые функции

и должны удовлетворять основным уравнениям (3) и (4) и граничным условиям (7).

Заметим, что граничные условия (7) отражают требование о непрерывности определяемых функций

на границе тела, т. е. когда внутренняя точка стремится к некоторой точке поверхности , функция должна стремиться к заданному значению в данной точке поверхности.

Основнаязадачатретьеготипа или смешаннаязадача состоит в том, что по заданным поверхностным силам

на одной части поверхности тела и по заданным перемещениям на другой части поверхности тела а также, вообще говоря, по заданным массовым силам требуется определить компоненты тензора напряжений и перемещения , удовлетворяющие основным уравнениям (3) и (4) при выполнении смешанных граничных условий (8).