Показательно-степенные уравнения и неравенства (стр. 2 из 12)
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) у = х2— четная функция (f( — х) = ( — x)2 = x2 = f(х)).
3) На промежутке [0; + οο) функция возрастает.
В самом деле, если
, то 
, а это и означает возрастание функции.4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.
В самом доле, если
,то — х1 > — х2 > 0, а потому(—х1)2> ( — х2)2, т. е.
, а это и означает убывание функции. 
Графиком функции y=х2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.Рис. II.2.
При n = 3 получаем функцию у = х3, ее свойства:
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) y = х3 — нечетная функция (f ( — х) = { — x)2 = — х3 = — f (x)).
3) Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x3 изображен на рисунке. Он называется кубической параболой.График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.
Рис. II.3.
Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:
n= 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хnобладаеттеми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при
тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.Пусть n— произвольное нечетное число, большее трех: n= = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хnобладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хnтем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показателем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n — натуральное число. При n = 1 получаем у = х-nили у = 
Свойства этойфункции:
График (гипербола) изображен на рисунке II.4.Пусть n — нечетное число, большее единицы,
n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х-nобладает в основном теми жесвойствами, что и функция у = 
График функции у = х-n(n = 3, 5, 7, ...) напоминает
Рис. II.4.
график функции у = . Пусть n— четное число, например п = 2. Перечислим некоторые свойства функции у = х-2, т. е. функции y =
.1) Функция определена при всех х 
0.
2) y =
четная функция.3) y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.
График функции у =
изображен на рисунке. Аналогичный вид имеет график функции 
, если n = 4, 6, ... .Функции вида
, 
, 
обладают теми же свойствами, как и функция 
.Степенная функция с положительным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = хr,где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этойфункции.
1) Область определения — луч [0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = хrвозрастает на [0; +оо).
Рис. II.5.
На рисунке II.5. изображен график функции
Он заключен между графиками функций у = х2и у = х3, заданныхна промежутке [0; + оо).Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где
.На том же рисунке изображен график функции
. Подобный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где 
.Степенная функция с отрицательным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.
1) Область определения — промежуток (0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = х-rубывает на (0; +оо).
Построим для примера график функции у — х 
таблицу значений функции:
Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).Подобный вид имеетграфик любой функции
у = хr, где r— отрицательная дробь.
Рис. II.6.
II. 2. Показательная функция и ее свойства.
Функция, заданная формулой вида у = ах, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной.1.Функция у = ах при а>1обладает следующими свойствами (см. рис. II.7.):
а) область определения — множество всех действительных чисел;
б) множество значений — множество всех положительных чисел;
Рис. II.7.
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если x > 0, то аx> 1;
е) если х < 0, то 0 < ах < 1.
3. Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойствами (см. рис. II.8.):
а) область определения D(f)=R;б) множество значений E(f)=R+;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0 < ах < 1;
е) если х < 0, то ах > 1.
Рис. II.8.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.
Так называются уравнения вида
, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида
. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x)Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х)f(x) иа(х)g(x)теряют смысл. То - есть при переходе от
к f(x) = g(x)(при 
и 
могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.