Преобразование Лапласа (стр. 3 из 4)
· Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
· Решение нестационарных задач математической физики.
8. Связь с другими преобразованиями
Фундаментальные связи
Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.
Преобразование Лапласа-Карсона
Преобразование Лапласа-Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную.
Двустороннее преобразование Лапласа
Двустороннее преобразование Лапласа
связано с односторонним с помощью следующей формулы: 
Преобразование Фурье
Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом s = iω:
Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель
который часто включается в определения преобразования Фурье.
Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектрсигнала или динамической системы.
Преобразование Меллина
Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина
положим θ = e − x, то получим двустороннее преобразование Лапласа.
Z-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:
где
— период дискретизации, а 
— частота дискретизации сигнала. Связь выражается с помощью следующего соотношения: 
Преобразование Бореля
Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.
9. Преобразование Лапласа по энергии
Запишем уравнение
для моноэнергетического источника S(E)=d(E-E0) с интегральным членом в форме:
и, не пренебрегая для простоты зависимостью сечений Σ(E) и
от E, перейдем от E к новой переменной
D=
: 
Ф(D)=Ф(E)
(1)Решение этого уравнения можно получить с помощью преобразования Лапласа по энергии:
(2) 
(3)Его можно рассматривать как разложение дифференциальной плотности потока по системе биортогональной функции
и 
.Подействуем на все члены уравнения (1) оператором
В соответствии с (3) первый член преобразования к виде
Во втором члене необходимо изменить порядок интегрирования и в интеграле по D сделать замену переменных
Тогда он приведется к виду
,где
(4)-трансформанта Лапласа от дифференциального сечения рассеяния.
Правая часть уравнения (1) легко преобразуется, после чего получаем
’Откуда
. (5)Подставляя (5) в (2), находим интересующую нас функцию Ф(D):
Если сечение
быстро убывает с ростом Q экспоненту в (4) можно разложить в ряд.
Тогда
где
-середина потери энергии на единице длины пути. Подставим это разложение в (6) и сделаем замену переменных 
Тогда (6) перейдет в:
Вычисляя, интеграл с помощью вычетов и возвращаясь от переменной
к переменной E, получаем: 
(7)Экспонента в формуле (7) есть вероятность того, что частица избежит поглощения на пути, где энергия меняется от Е0 до Е. Если сечение поглощения равно нулю, то
(8)Формула (8) имеет простой физический смысл. По определению Ф(E)=dE есть средний путь, пройденный частицей за время, пока ее энергия меняется от E+dE до E.
В приближении непрерывного замедления dE/dl=b, откуда dl/dE=1/b, что совпадает с (8).
10. Преобразование Лапласа по координатам
Запишем кинетическое уравнение в приближении «прямо-вперед» (т.е. без учета отклонения частиц при рассеянии), для частиц, испускаемых моноэнергетическим источником, который находится в начале координат:
(208) 
(209)Поскольку частицы испускаются в положительном направлении оси Оz, в области z<0 плотность потока равна 0 и область изменения z в уравнении (208) следует считать полубесконечный интервал (0,¥). Это обстоятельство позволяет применить для решения уравнения (208) преобразование Лапласа по координатам:
(210)где трансформанта Лапласа Ф(l,E) выражается через плотность потока следующим образом:
(211)Умножим обе части уравнения (208) на
и проинтегрируем по z от 0 до ¥. Преобразовав первый член интегрированием по частям с учетом граничного условия (209) и, использовав обозначение (211), получим: 
После преобразования Лапласа остальных членов уравнения (208) приходим к уравнению для трансформанты плотности потока:
(212)которое в отличие от (208) не содержит производных и является интегральным уравнением типа уравнения деградации энергии. Введя обозначение
(213)Перепишем уравнение (312) в виде
(214)При действительных
уравнение (214) по форме совпадает с уравнением деградации энергии для частиц с макроскопическим сечением столкновений 
и дифференциальным сечением рассеяния 
Из (213) видно, что по мере уменьшения l
обращается в нуль, а потом становится отрицательной. Отсюда следует, что решение уравнения (214) существует лишь в области