Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре (стр. 3 из 6)

Примем О за центр инверсии, тогда Р и Р' - инверсные точки, значит

Итак,

искомая инверсия, переводящая прямую в окружность.

Задача 2. Даны две окружности (

) и (

). Найти инверсию, переводящую одну окружность в другую.

Имеет место

Теорема. Любые две неравные окружности гомотетичны и имеют внутренний и внешний центр гомотетии.

Т.к. инверсные точки, по определению, принадлежат одному лучу с вершиной в центре инверсии, то за центр инверсии выберем внешний центр гомотетии.

Пусть это точка О, тогда радиус инверсии

(см. рисунок).

6. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского на плоскости

Рассмотрим евклидову плоскость и евклидову прямую f в ней. Прямая f разбивает евклидову плоскость на две полуплоскости. Выберем одну из этих полуплоскостей без её границы и назовём плоскостью Лобачевского.

Точкой Лобачевского (Л-точкой) назовём евклидову точку, принадлежащую выбранной полуплоскости без границы f.

Прямыми Лобачевского (Л - прямыми) назовём евклидовы полуокружности (в том числе и „полуокружности бесконечно большого радиуса”, ортогональные f и расположены в выбранной полуплоскости без границы.

Определим далее отношения „лежать между", „лежать на", „быть конгруэнтными" и покажем, что при этом выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского.

Будем говорить, что Л - точка лежит на Л - прямой, если евклидова точка лежит на евклидовой полуокружности или евклидовом луче.

Проверим выполнимость аксиом принадлежности.

Пусть даны Л - точки А и В. Покажем, что существует Л - прямая, проходящая через эти Л - точки.

Проведём евклидову отрезку АВ срединный перпендикуляр в евклидовом смысле.

Если

то евклидова полуокружность (О, |OA|) - есть

Л - прямая, если

то Л - прямой будет евклидов луч.

Из указанных построений следует выполнимость и аксиомы

Каковы бы ни были точки А и В существует не более одной прямой, проходящей через эти две точки.

На каждой прямой лежат по крайне мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Аксиома

выполняется на модели, т.к это утверждение справедливо для евклидовой полуокружности и евклидова луча.

Замечание. На следующем рисунке представлена на модели

Теорема. Две прямые имеют не более одной общей точки.

Отношение „лежать между" будем понимать в обычном евклидовом смысле для точек полуокружности и луча.

Аксиомы

выполняются на модели, т.к они справедливы для евклидовых точек, евклидовых полуокружностей и лучей.

Проверим выполнимость аксиомы

Пусть даны Л - точки А, В, С, такие, что

; и Л - прямая а такая, что

Пусть, далее

, и имеет место ADB. Покажем, что на Л - прямойaсуществует Л - точка F такая, что имеет место либо BFC, либо AFC.

Доказательство следует из теоремы: две евклидовы окружности пересекаются тогда и только тогда, когда одна из них проходит через внутреннюю точку другой окружности.

В самом деле, т.к имеет место ADB, то одна из точек А или В по отношению к окружности а внутренняя, пусть это точка В. Тогда, если точка С лежит вне окружности а, то имеет место BFC; если точка С лежит внутри окружности а, то имеет место AFC.

Замечание. На следующих рисунках представлена интерпретация отрезка, луча, угла, треугольника в плоскости Лобачевского.

[AB]

[Aa)

(a,b)

ΔАВС

Прежде чем определить отношение „быть конгруэнтными", введём понятие неевклидова движения.

Пусть Л - прямая а задана в виде евклидовой полуокружности.

Симметрией Л - плоскости относительно Л - прямой а назовём инверсию евклидовой полуплоскости относительно евклидовой полуокружности.

Если Л - прямая а задана в виде евклидова луча, то будем иметь симметрию относительно евклидовой прямой.

Неевклидовым движением назовём конечную цепочку симметрий Л - плоскости относительно Л - прямых.

Будем говорить, что [AB]

[CD], если существует неевклидово движение

(A) =C,

(B) =D.

если существует неевклидово

движение

(а) =с,

(b) =d.

Проверим выполнимость аксиом конгруэнтности.

Пусть дан Л - отрезок uv и Л - луч Аа. Докажем, что

1) на [Aa) существует Л - точка В такая, что [AB]

[uv] ;

2) [AB]

[BA].

рис. 1

Рис.2

Рассмотрим

;

тогда

Рассмотрим

тогда

Рассмотрим

где

(OF) - касательная из точки О к а, тогда

(

Из

, то цепочку симметрий оборвём и

(см. рис.1).

Если

, то рассмотрим ещё одну симметрию