Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре (стр. 5 из 6)
Перемножив (1) и (2), получим
, откуда 
(см. критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре). 
. Пусть дан 
и луч [Aa) с указанной полуплоскостью. Покажем, что существует единственный луч [Ab) в указанной полуплоскости, такой, что 
; и каждый угол конгруэнтен самому себе. 
Пусть
- евклидова величина неевклидова угла (u,v).В точке А к евклидовой полуокружности а проведём
касательную в евклидовом смысле и построим в указанной полуплоскости угол, конгруэнтный
. Получим евклидову прямую 
.Построим в точке А к прямой
перпендикуляр до пересечения с f в точке О. С центром в точке О, радиусом ОА проведём полуокружность.Таким образом, получим неевклидов луч Ab.
Т.к.
, то 
(см. критерий конгруэнтности углов на модели Пуанкаре).Единственность луча b следует из однозначности приведённых построений.
Покажем далее, что
. Это следует из равенства евклидовых величин этих углов. 
. Пусть 
и 
, 
, 
, 
. Покажем, что 
, 
. 
Т.к.
, то существует неевклидово движение 
, преобразующее стороны 
в стороны 
.1) Пусть
, 
.Т. к. , 
, то 
, 
, т.е. 
и 
, 
, откуда , .2) Пусть
, 
.Рассмотрим инверсию
относительно биссектрисы . Тогда приходим к ситуации 1).Замечание. На следующих рисунках изображены конгруэнтные между собой треугольники ABCи
.
рис. 1
рис. 2
Рассмотрим далее решение некоторых задач на модели.
Задача 1. Построить середину отрезка АВ.
1 случай
- касательная к а из О. Докажем, что 
. Для этого достаточно рассмотреть 
2 случай
Строим евклидову окружность S с диаметром ОВ.
Для доказательства того, что
достаточно рассмотреть
.Заметим, что т.к.
,то неевклидова середина отрезка АВ „тяжелее” евклидовой.
Задача 2. Построить биссектрису угла (a,b).
- евклидовы касательные к a и b соответственно в точке А. 
- евклидова биссектриса 
и 
.c= (O, OA) - неевклидова биссектриса
.Доказательство основано на критерии конгруэнтности углов на модели Пуанкаре.
Задача 3. Дана Л-прямая а в точке А, не лежащая на а. Построить Л-прямую b, ортогональную а, и
.1 случай
Достаточно построить
и тогда b- неевклидова прямая, проходящая через точки А и 
, т.к окружность, проходящая через пару инверсных точек, ортогональна окружности инверсии.2 случай
3 случай
(O, OA) =b
Задача 4. Построить высоту, медиану, биссектрису в треугольнике.
Решение основано на задачах 1-3.
Проверим выполнимость аксиомы непрерывности в формулировке Дедекинда.
IV. Пусть все точки прямой разбиты на два класса так, что выполняются условия:
Оба класса не пустые;
Каждая точка прямой отнесена к одному и только одному из классов;
Каждый класс есть выпуклое множество.
Покажем, что в одном из классов существует граничная точка, т.е. такая точка, которая не лежит между двумя точками одного и того же класса.
Пусть все точки Л-прямой а разбиты на два класса
и 
так, что выполнены условия 1-3 аксиомы Дедекинда.Рассмотрим евклидову прямую
, касающуюся Л-прямой aи параллельную f. 
Установим соответствие между точками прямых а и
, с помощью радиальных прямых. Очевидно, что это соответствие будет взаимно-однозначным. Поэтому все точки евклидовой прямой 
разобьются на два класса 
и 
так, что будут выполнены условия 1-3 аксиом Дедекинда.Т.к. для евклидовой прямой аксиома Дедекинда справедлива, то в одном из классов
или существует граничная точка 
.