Функция называется убывающей на некотором промежутке
, если на этом промежутке большему значению независимой переменной соответствует меньшее значение функции, т.е. если и , , то .Если функция определима и непрерывна на некотором отрезке
и на концах отрезка имеет знак, то на указанном отрезке эта функция имеет по крайне мере хотя бы одну точку, в которой .ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Функция
достигает своего максимума в точке , если ее значение в окрестности этой точки меньше, чем значение функции в этой же точке .Функция
достигает своего минимума в точке , если ее значение в окрестности этой точки больше, чем значение функции в этой же точке .Правило поиска экстремальных точек
1. Находим область определения функции
.2. Находим производную функции
.3. Определяем критические точки
по ее первой производной.4. Исследуем
на знак слева и справа от найденных точек.5. Если слева от точки
, а справа , то тогда говорят, что точка является точкой максимума.6. Если слева от точки
, а справа , то тогда говорят, что точка является точкой минимума.7. Если
слева и справа от критической точки не меняет знак, то говорят, что является точкой перегиба функции.Если функции
и непрерывны при , где – некоторое положительное число, отличное от нуля и достаточно маленькое, и имеют непрерывные производные в указанной точке, а также не обращается в нуль при вычитании указанных условий, тогда можно сформулировать следующую теорему.ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Теорема Коши. Если при соблюдении предположений относительно функций
и отношение стремится к некоторому числу при , то тогда к такому же числу будет стремиться отношение функций .Эта теорема позволяет формулировать правило Лопиталя. При раскрытии неопределенности вида
можно функцию числителя и знаменателя заменить их производными и , соответственно, и рассматривать предел вместо в указанной точке.