Дзета функция Римана (стр. 2 из 6)

, а и . Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем

(3). В левом неравенстве положим n=0, тогда , то есть . В правом же возьмём n=1 и получим , далее , и, наконец, . Переходя в неравенствах к пределу при , находим .

Отсюда, в частности, следует, что

. Действительно, положим . Тогда , то есть . Поэтому . Из того, что , а , вытекает доказываемое утверждение.

Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства

. Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму и вычтем . Имеем . Пусть здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить и . Мы пока не знаем, существует ли предел выражения при , поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так:

. Ввиду произвольности n возьмём . Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C 0,577). Значит , а, следовательно, существует и обычный предел и .

Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения

, где k – натуральное число.

Возьмём известное разложение

, где - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое в левую часть равенства. Слева получаем cth , а в правой части - , то есть cth . Заменяем на , получаем cth .

С другой стороны, существует равенство cth

, из которого cth . Подстановкой вместо находим cth . Если , то для любого N и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов cth .

Приравняем полученные разложения:

, следовательно . Отсюда немедленно следует искомая формула

(4), где - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:

, где p_i – i-е простое число (4).

Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство

Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным , где символ * означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то

(5).

Сумма

содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, . Из (5) получаем

(6).

Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а

есть произведение (4). Значит из неравенства при , что и требовалось доказать.