Статистическая устойчивость случайных событий (стр. 1 из 3)
Министерство образования и науки Украины
Государственная лётная академия
Теория вероятностей
и математическая статистика
Лабораторная работа№1
Статистическая устойчивость случайных событий.
Вариант 6
Выполнил:
Курсант 871 к.о.
Зозуля С.
Проверил:
Борота В.Г.
Кировоград 2009 г.
1. Краткие теоретические сведения.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие “при бросании монеты выпал герб” – случайное . Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны.
По иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определённым закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.
Пусть произошло n испытаний, и событие А произошло m раз. Очевидно, что 0£m£n.
Частотой случайного события А в данной последовательности испытаний называется число W(A) где
т.е. отношение количества появлений события А к количеству испытаний.
Событие А называется статистически устойчивым, если при увеличении числа испытаний n частота W(A) стабилизируется и стремится к определенному числу Р почти в каждой серии испытаний. Для проверки статистической устойчивости случайного события А можно построить последовательность значений частоты W(A) при n®¥ и изобразить последовательность на графике. Если W(A) при n®¥ группируется около определённого числа Р, можно предположить устойчивость частоты события А.
Статистическое определение вероятности: вероятностью случайного события А называется такое число Р=Р(А), что частота W(А) стремится к Р при увеличении числа испытаний n почти в каждой серии испытаний.
Классическое определение вероятности: вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу.
Произведем n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна Р (0<p<1).
Величина
q = 1- p
является вероятностью события Ā, противоположного событию А, заключающегося в не появлении события А
q = p (Ā)
Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонения относительной частоты
от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа e>0. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства 
.Эту вероятность будем обозначать так:
Можно доказать, что
Здесь
функция Лапласа.
При решении задач пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл
не выражается через элементарные функции. В таблице даны значения Φ(x) для положительных значений x и для x = 0; для х< 0 пользуются той же таблицей, поскольку функция Φ(x) – нечетная, Φ(-x)= - Φ(x).В таблице приведены значения интеграла только для x = 5, так как для x>5 можно принять Φ(x)=0,5.
Доверительная вероятность:
Пусть найденная по данным серии опытов статистическая характеристика W(A) служит оценкой неизвестного параметра Р(А). Ясно, что W(A) тем точнее определять параметр Р(А), чем меньше абсолютная величина разности÷Р(А)-W(А)÷. Другими словами, если
÷Р(А)-W(А)÷<e, то чем меньше e, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число e характеризует точность оценки.
Надёжностью или доверительной вероятностью оценки Р(А) по W(А) называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство
÷Р(А)-W(А)÷<e
Обычно надёжность оценки задаётся наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,9; 0,95; 0,99 и 0,999. Если нужно оценить минимальное число опытов, необходимое для стабильного получения отклонений частоты в пределах заданной величины e, то для доверительной вероятности γ =0,95 можно пользоваться формулой
Варианты задач для заданий 1 и 2
Задача 1.
Событие А – появление герба при бросании монеты. Результаты опытов отражены в приложении 1. Серии брать по 10 бросаний монеты. Последовательность испытаний указана в таблице заданий.
Задача 2.
Событие А – регистрация мальчиков среди новорожденных. Результаты опытов отражены в приложении 2. Серии брать по 10 регистраций. Последовательность испытаний указана в таблице заданий.
Задача 3.
Событие А – поступление в КИСМ абитуриентов с фамилией, начинающейся с буквы К. Результаты опытов отражены в прил. 3. Серии брать по числу студентов в группах. Последовательность опытов -в таблице заданий.
Задача 4 .
Событие А – появление цифры 1,2,3,4,5 или 6 при бросании игрального кубика. Результаты опытов отражены в приложении 4. Серии брать по 30 бросаний кубика. Последовательность испытаний и цифра указаны в таблице заданий.
Задача 5.
Сделать вырезку из газеты или журнала. Событие А – появление буквы в тексте. В отрывке должно быть 2000 букв. Серии брать по 100 букв. Необходимая буква указана в таблице заданий. Вероятности появлений русских букв в тексте в приложении 11.
Таблица заданий
| Номер | Номер задачи | Последовательность | Вариант буквы |
| варианта | для задания 1 | испытаний | для задания 2 |
| 1 | 1 | 1-300 | Задача 5 - "О" |
| 2 | 1 | 101-400 | Задача 5 - "И" |
| 3 | 1 | 201-500 | Задача 5 - "А" |
| 4 | 1 | 301-600 | Задача 5 - "Е" |
| 5 | 1 | 401-700 | Задача 5 - "О" |
| 6 | 1 | 501-800 | Задача 5 - "И" |
| 7 | 2 | 1-360 | Задача 5 - "А" |
| 8 | 2 | 121-480 | Задача 5 - "Е" |
| 9 | 2 | 241-600 | Задача 5 - "О" |
| 10 | 2 | 351-720 | Задача 5 - "И" |
| 11 | 2 | 481-840 | Задача 5 - "А" |
| 12 | 2 | 601-960 | Задача 5 - "Е" |
| 13 | 2 | 721-1080 | Задача 5 - "О" |
| 14 | 3 | С01-Д91 | Задача 5 - "И" |
| 15 | 3 | Д91-Р83 | Задача 5 - "А" |
| 16 | 4 | 1-600 цифра 6 | Задача 5 - "Е" |
| 17 | 4 | 1-600 цифра 5 | Задача 5 - "О" |
| 18 | 4 | 1-600 цифра 4 | Задача 5 - "И" |
| 19 | 4 | 1-600 цифра 3 | Задача 5 - "А" |
| 20 | 4 | 1-600 цифра 2 | Задача 5 - "Е" |
| 21 | 4 | 1-600 цифра 1 | Задача 5 - "О" |
| 22 | 4 | 301-900 цифра 6 | Задача 5 - "И" |
| 23 | 4 | 301-900 цифра 5 | Задача 5 - "А" |
| 24 | 4 | 301-900 цифра4 | Задача 5 - "Е" |
| 25 | 4 | 301-900 цифра 3 | Задача 5 - "О" |
| 26 | 4 | 301-900 цифра 2 | Задача 5 - "И" |
| 27 | 4 | 301-900 цифра 1 | Задача 5 - "А" |
| 28 | 4 | 451-1050 цифра 6 | Задача 5 - "Е" |
| 29 | 4 | 451-1050 цифра 5 | Задача 5 - "О" |
| 30 | 4 | 451-1050 цифра 4 | Задача 5 - "И" |
Задания к лабораторной работе.
1.Для изучения статистической устойчивости события А в заданиях 1 и 2 результаты испытаний сгруппировать сериями по n испытаний в каждой серии, Число полученных серий обозначим k.
2.Подсчитать число появлений mі события А в каждой серии.
3.Вычислить частоту ωi(A) появления событий А в каждой серии/
4.Объединив результаты опытов 1 и 2, затем 1, 2, 3 и т.д. до последней серии опытов в задании, вычислить:
Nі – число опытов в объединённых (накопленных) сериях испытаний.
Mі – число появления события А в объединенных (накопленных) сериях
испытаний.
Wі(А) – частоту появления события А в объединенных (накопленных) сериях испытаний.
5. Результаты вычислений занести в таблицу 1.
6. Построить точечную диаграмму №1. Зависимость ωi(A) от номера серииі=1, 2, ... k.
7.Построить точечную диаграмму №2. Зависимость Wk (А)от числа опытов в серии Nі .
8. Сравнить полученные диаграммы и сделать вывод о статической устойчивости события А.
9. Вычислить или найти в приложении 1 и 2 вероятность появления события А Р(А).
10. Вычислить вероятность противоположного события, пользуясь формулой q = 1 -p.
11.Найти отклонение относительной частоты Wk(А) от его статистической вероятности Р(А), пользуясь формулой e=÷Wk(А)-Р(А)÷.