Исследование функции с помощью производной (стр. 3 из 3)
Ox: y=0,
x2/(x-2)=0
x3-2x2=0
x2(x-2)=0
x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х
4) Найдем производную функции:
y’=(2x(x-2)-x2)/(x-2)2=(2x2-4x-x2)/(x-2)2=(x(x-4))/(x-2)2=(x2-4x)/(x-2)2
5) Определим критические точки:x2-4x=0 x(x-4)=0
y’=0, (x2-4x)/(x-2)2=0 <=> <=>
(x-2)2≠ 0 x≠ 2
x2-4x=0, а (x-2)2≠ 0, т.е. х≠ 2
x(x-4)=0
x=0 или x=4
6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции.
0 8+ - - +
0 2 4
x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0
x=1, y’=(1-4)/1=-3<0
x=3, y’=(9-12)/1=-3<0
x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0
7) Найдем точки минимума и максимума функции:
xmin=4
xmax=0
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(4)=16/2=8
ymax=y(0)=0
9) Построим график функции:
10) Дополнительные точки:
y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9
y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9
Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x2+3) и построить график. 1) Найдем область определения функции:
D(y)=R
2) Определим вид функции:
y(-x)=(6(-x-1))/(x2+3)=-(6(x+1))/(x2-3) – функция общего вида.
3) Найдем точки пересечения с осями:
Oy: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y.(6(x-1))/(x2+3)=0
Ox: y=0, <=>
x2+3≠ 0
6x-6=0
6x=6
x=-1
(1;0) – точка пересечения с осью х
4) Найдем производную функции:
y’=(6(x-1)/(x2+3))’=6(x2+3-2x2+2x)/(x2+2)2=-6(x+1)(x-3)/(x2+3)2
5) Определим критические точки:
y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x2+3)2=0
-6(x+1)(x-3)=0
y’=0, если х1=-1 или х2=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.
6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:
-3 2- + -
-1 3
x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3)2=-30/49<0
x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3)2=2>0
x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3)2=-30/361<0
7) Найдем точки минимума и максимума:
xmin=-1
xmax=3
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3
ymax=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1
9) Построим график функции:
10) Дополнительные точки:
y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2
y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77
Пример 14. Исследовать функцию y=xlnx и построить ее график:
1) Найдем область определения функции:
y=x ln x
D(y)=R+ (только положительные значения)
2) Определим вид функции:
y(-x)=-xlnx - общего вида.
3) Найдем точки пересечения с осями:
Oy, но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет.
Ox: y=0, то есть xlnx=0
x=0 или lnx=0
0 ¢ D(y) x=e0
x=1
(1;0) – точка пересечения с осью х
4) Найдем производную функции:
y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1
5) Определим критические точки:
y’=0, то есть lnx +1=0
ln x=-1
x=e-1
x=1/e (≈ 0,4)
y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e– критическая точка.
6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:
-1/e
- +
1/e
x=1/(2e); y’=log(2e)-1+1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0
x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0
7) 1/e – точка минимума функции.
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(1/e)=1/e ln e-1=-1/e (≈ -0,4).
9) Построим график функции:
Заключение.
Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.
Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме.
Я хочу посоветовать всем глубже изучить эту тему.
Список литературы.
1. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа.- М.: Просвещение, 1992.
2. Глейзер, Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1983.
3. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888.
4. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1974.
5. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980.
6. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.: Просвещение, 1993.