Численные методы 6 (стр. 2 из 3)

Кусочно- квадратичная φ(x) вида (10.3) внутри интервала (x_2n-2-x_2n),

является непрерывной и дифференцируемой два раза, а в точках x_2i

является непрерывной, но не дифференцируемой.

Определение Сплайна

Пусть на отрезке [a;b] задана некоторая система узлов a₀≤x₀< x₁<…<x_n≤b

Сплайном S_n(x) называется функция, которая определена на [a;b], l раз непрерывна и дифференцируема на нем, при этом на каждом из отрезков

[х_к-1; х_к], к =

, представляет собой многочлен степени m.

Разность (m-1) называется дефектом Сплайна (показывает разность между степенью составляющих его многочленов и степенью гладкости общей функции).

Если сплайн построен по некоторой таблично заданной функции f(x) таким образом, что S(х_i)= f(x_i); x_i , i=

- узлы интерполяции, то сплайн называют интерполяционным. Узлы сплайна и узлы интерполяции функции могут не совпадать.

Очевидно, что функция (10.1) является интерполяционным сплайном степени 1, дефекта 1, а кусочно-квадратичная функция (10.3) является интерполяционным сплайном, степени 2, дефекта 2.

Интерполяционный сплайн степени 3, дефекта 1.

Дважды непрерывно – дифференцируемый – сплайн.

Пусть задана табличная функция на [a;b], причем a= χ₀ ≤ χ₁<…< χ_n=b (узлы сплайна совпадают с узлами интерполяции). Общий вид:

Условия:

1.) g(x_i) = f(x_i)=y_i , i=

2.) g(x) = c² (дважды дифференцируема) [a;b]

3.) – краевые условия

Для нахождения неизвестных коэффициентов введем функцию

g_n(x) = a_k(x-x_k)³+ b_k(x-x_k)²+c₁(x-x_k)+d_k, xÎ[ x_k-1;x_k]

1.) g₁(x₀) = y₀ , g₁(x₁) = y₁ , g₂(x₂) = y₂ ,… g_n(x_n) = y_n

2.) первое условие (сплайн интерполяционный)

3.)

Краевые условия:

Таким образом, для нахождения 4n неизвестных мы построим 4n условий.

Теорема(10.1). Интерполяционный сплайн вида (10.5) для функции f(x) единственен.

Теорема(10.2). Пусть g(x)- интерполяционный сплайн степени 3 дефекта 1, построенный для функции f(x) С⁴ на отрезке [a;b], тогда для

найдется такая константа C>0, что:

|f(x)- g(x)|<C

⁴, [a ;b],

= max(x_k-x_k-1), 1≤ k ≤ n

- максимальное расстояние между узлами интерполяции.

Линейный фильтр

Понятие линейного сплайна позволяет сформулировать подходы к построению линейных фильтров, предназначенных для устранения случайных ошибок в данных.

Обычно в ходе измерений на процесс фиксации данных оказывают влияние случайные помехи. Для того, чтобы уменьшить влияние этих помех на качество интерполяции осуществляют пересчет значений функции в узлах интерполяции по следующей формуле:

Квадратичный сплайн дефекта один

Узлы этого сплайна не совпадают с узлами интерполяции функции.

Пусть узлы интерполяции заданы на [a;b]

- узлы сплайна, f(x_i)=y_i

, ,

Для сплайна n+2 узлов

Квадратичный сплайн дефекта 1 имеет вид:

Условия:

1.)

2.) P(x) ÎC'[a;b],

первая непрерывная производная во всех точках [a;b]

3.) Краевые условия:

P''(a)=A; P''(b)=B;

A и B- константы и желательно разные;

Чтобы построить сплайн необходимо найти 3n+3 неизвестных коэффициента. С этой целью сформирую функцию:

P_n(x)= a_k

²+bn

+c_k

Условия:

1.) P_i+1=y_i, i=

- n+1 условий

2.) P_k

= P_k+1 ,

P'_k

=P'_k+1 ,

3.) P₁

=A, P''_n+1 -B – краевые условия;

Теорема 11.1. Квадр. Сплайн дефекта один, вида (11.1) для функции существует и единственен.

Теорема 11.2. Пусть функция f(x) дважды непрерывна и дифференцируема на [a;b], а P(x)- сплайн вида (11.1), тогда для

, (n- связано с числом узлов интерполяции) такие constc₀, c₁, c₂; что для из [a;b] выполняются следующие неравенства:

| f(x)-P(x) | ≤ C₀∆²

| f '(x)-P' (x)|

≤C∆

| f ''(x)-P'' (x)|

≤C₂

где ∆- максимальное расстояние между узлами интерполяции, т.е ∆= max(x_k-x_k-1) 1≤k≤n

Метод наименьших квадратов

1. Формула метода наименьших квадратов, для линейной функции нескольких переменных.

2. Типовые способы преобразования нелинейной функции к линейной.

3. Метод наименьших квадратов для системы линейно – независимых функций.

4. Ряды и полиномы Фурье с использованием метода наименьших квадратов.

Пусть аппроксимируемая функция представляет собой функции n переменных y= f(x₁…x_n), которая задана таблицей своих значений:

информационная матрица

Такие таблицы формируются в ходе эксперимента для реальных объектов, у которых есть одна выходная переменная (отклик), которая зависит от нескольких выходных переменных (факторов).

необходимо аппроксимировать нашу функцию при помощи построения линейной функции (приближающей).

Необходимо построить приближение данной функции f(x₁…x_n), заданной инфо - матрицей посредством функции φ (x₁…x_n)=y, которая должна быть линейной, т.е. ее общий вид:

y= φ (x₁…x_n)=b₀+b₁x₁+…+b_nx_n(11.2)

b_i – неизвестные коэффициенты (параметры)

Задача аппроксимации состоит в определении b_i.

Каков критерий для выбора этих параметров?

Пусть f(x)-функция одной переменной и точки, в которой она определена, изображены на координатной плоскости.

Проводим прямую, минимизируем сумму квадратов расстояний.

Поскольку в ходе эксперимента на объект могут воздействовать случайные помехи, то в инфо – матрице могут присутствовать значения, которые не характерны для самой функции, в силу этого требовать от аппроксимирующей функции совпадения значений со значениями исходной функции во всех точках неверно.

Необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от исходных в заданных точках:

(11.3)

Для данной задачи критерий (11.3) будет иметь вид:

(11.4)