Численные методы 6 (стр. 3 из 3)

Функция квадратичная, параболоид. Точка, в которой производные частные все будут равны 0

(11.5)

Так как функция (11.4) является квадратичной относительно переменных b_i, то для нахождения ее минимума по этим переменным достаточно решить систему (11.5)

(11.6)

В системе (11.6) каждое уравнение делим на 2 и раскрываем сумму; перенося сумму с частью y_j знак равенства:

(11.7)

Система (11.7) представляет собой СЛАУ относительно b_i и может быть решена одним из известных методов.

Для упрощения записи и решения представим систему (11.7) в матричном виде. Введем матрицы:

Столбец из 1 добавили в U с целью универсализации решений, так как линейную функцию можно представить в виде:

y= b₀x₀+b₁x₁+…+ b_nx_n, где x₀=1

(n+1) 1

Тогда система (11.7) может быть записана в следующем виде:

[U^TU]B=U^TY(11.8)

Системы (11.7) и (11.8) называются нормальными. Используя, метод обратной матрицы система (11.8) имеет вид:

B= [U^TU]^-1U^TY(11.9)

(11.9) - метод наименьших квадратов для линейной функции.