Экономико-математическое моделиpование (стр. 3 из 3)

Диаграмма к 5

ЗАДАЧА 6
Имеются следующие данные об урожайности зерновых культур Y (в ц/га)
количестве осадков Х1 (в см) выпавших в вегетационный период
i	1		2		3		4		5		6		7		8	9		10
Yi	23		24		27		27		32		31		33		35	34		32
Xi	25		27		30		35		36		38		39		41	42		45
Требуется :
а)Определить параметры уравнения регрессии;
б) определить коэффициент парной корреляции и проверить его
статическую надежность
1. Количественные оценки связи между величинами случайного процесса
устанавливает регрессионный анализ. Связи между переменными могут
линейные и нелинейные. В простейшем случае значения Y выражаются в
виде линейной зависимости :
Y =a + bX,
где a и b - коэффициенты регрессии.
Наиболее часто для расчетов коэффициентов применяют метод
наименьших квадратов.
2. По методу наименьших квадратов произведем расчет коэффициентов
уравнения регрессии
из системы уравнении
sum(Yi)= n*A + B sum(Xi)
sum(XiYi) = A* sum(Xi) + B*sum(Xi2))
имеем
А = sum(Yi) * sum(Xi2) - sum(XiYi) * sum(Xi)
n* sum(Xi2)- (sum(Xi) 2)
B = n*sum(XiYi) - sum(Xi)* sum(Yi)
n*sum(Xi2)- (sum(Xi))2
A=S2*S3-S4*S1 B=n*S4-S1*S2,
n*S3-S1*S1					n*S3-S1*S1
где S1=SUM(Xi) S2=SUM(Yi) S3=SUM(Xi2)
S4=SUM(XiYi)
n - общее число замеров, в нашем случае это 10
2.В результате расчета получено уравнение регрессии:
Y=	8,917+0,583*Х
3.Подставив значения X в уравнение найдем Y расчетное.
4.По значениям экспериментальным и теоретическим строим графики.
5. Связь между двумя случайными величинами, которая определяется с
некоторой вероятностью, называется корреляционной. Для
количественной оценки линейной корреляции используется коэффициент
парной корреляции
r = 10*S4-S1*S2
(10*S3-S12)*(10*S5-S22)
S5=SUM(Yi2)
r=	0,9104
По таблице Чеддока найдём тесноту связи между двумя явлениями, связь
"очень тесная"
6.Качество уравнений регрессии оценивают по его прогнозирующей
способности. Уравнения хорошо прогнозируют(т.е. адекватно описывают)
экспериментальные данные, если расхождения между экспериментальными
и расчетными данными находятся в допустимых пределах.
Для проверки адекватности уравнения найдем среднюю относительную
ошибку прогнозирования E:
E=100 *SUM |Yэi - Ypi|
10 Yэi
где Yэi -экспериментальное, Ypi - расчетное значение
Е=	4,434%
Это сравнительно большое значение ошибки прогнозирования при
полученном выше значении r.
Внимательно посмотрим на значения отклонений между фактическими и
расчетными значениями Y. Почти непрерывный рост уражайности
после 8 года сменяется спадом. 10 год дает самый большой прирост
ошибки прогнозирования.
По всей видимости, для описания зависимости, лучше подошло бы
не уравнение прямой, а уравнение параболлы, так как после достижения
определенного уровня осадков урожайность начинает падать (много воды -
это тоже плохо для урожая) см. последние значения Х и Y
В 4 год также сравнительно большое расхождение, это может быть
вызванно тем, что урожайность зерновых зависит не только от
количества осадков, но и от многих других факторов, например от
количества теплых дней. Просто было холодно.
i			X		Y		X2		XY		Yрасч		Y2		(Y-Yрасч) Y
1			25		23		625		575		23,5		529		0,0217
2			27		24		729		648		24,67		576		0,0279
3			30		27		900		810		26,42		729		0,0215
4			35		27		1225		945		29,33		729		0,0863
5			36		32		1296		1152		29,92		1024		0,0650
6			38		31		1444		1178		31,08		961		0,0026
7			39		33		1521		1287		31,67		1089		0,0403
8			41		35		1681		1435		32,83		1225		0,0620
9			42		34		1764		1428		33,42		1156		0,0171
10			45		32		2025		1440		35,17		1024		0,0991
å			358		298		13210		10898		298		9042		0,4434
среднее			35,8		29,8
Коэффициенты регрессии:
b		0,583
a		8,917
Уравнение регрессии: Y=							8,917+0,583*Х
Коэффициент парной корреляции:
ЧИСЛИТ		2296
ЗНАМЕН		2522
R		0,91
Средняя относительная ошибка прогнозирования:
E=			4,43439

Диаграмма6

25	23	23,5
27	24	24,67
30	27	26,42
35	27	29,33
36	32	29,92
38	31	31,08
39	33	31,67
41	35	32,83
42	34	33,42
45	32	35,17