Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло (стр. 2 из 4)
то площадь поверхности будет равна
где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность.
Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой
где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy.
Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью
Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле
Пример
Вычислить площадь поверхности части параболоида
, лежащей выше плоскости xy.Площади заданной поверхности равна
Переходя к полярным координатам, находим ответ:
2. Физические приложения интегралов
2.1Физические приложения двойных интегралов
Масса и статические моменты пластины
Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна
. Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде 
Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой
Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :
Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону
, описываются формулами 
Для однородной пластины с плотностью
для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом.Моменты инерции пластины
Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой
Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :
Полярный момент инерции пластины равен
Заряд пластины
Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией
. Тогда полный заряд пластиныQ определяется выражением 
Среднее значение функции
Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой
где
− площадь области интегрирования R.Пример
Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми
(рисунок 2) и имеющего плотность 
.Найдем момент инерции пластины относительно оси Ox.
Аналогично вычислим момент инерции относительно оси Oy.
2.2 Физические приложения тройных интегралов
Масса и статические моменты тела
Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса телаm вычисляется с помощью тройного интеграла:
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами
Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:
Если тело является однородным с плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.
Моменты инерции тела
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями
а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам
Как видно, справедливы соотношения
Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл
Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:
Тензор инерции
Используя рассмотренные выше 6 чисел Ix, Iy, Iz, Ixy, Ixz, Iyz, можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела:
Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции.
Если тело вращается вокруг оси, не совпадаюшей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.
Гравитационный потенциал и сила тяготения
Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл
где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и
.Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле
где G − гравитационная постоянная.
Пример
Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.
По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar2, где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:
2.3 Физические приложения криволинейных интегралов
С помощью криволинейных интегралов вычисляются
1) Масса кривой;
2) Центр масс и моменты инерции кривой;
3) Работа при перемещении тела в силовом поле;
4) Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);
5) Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).
Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.
Масса кривой
Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода
Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции
, то ее масса описывается формулой 