Решение математических уравнений и функций (стр. 2 из 3)

Задание 3

Найти производные функций:

а)

и

.

б)

и

.

в)

.

г)

,

.

Задание 4

1. Область определения

.

2. На концах области определения:

.

- значит - вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты, если они есть:

У функции есть горизонтальная асимптота

.

3. Так как область определения не симметрична относительно 0, функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.

4. Функция периодичностью не обладает.

5. Найдем первую производную функции:

.

Решая уравнение

, получим две критические точки , еще одна критическая точка .

Результаты исследования на монотонность и экстремум оформим в виде таблицы:

x	(-∞;-2)	-2	(-2;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
y’	-	0	+	0	-	Не существует	-
y	Убывает	-80/27min	Возрастает	0max	Убывает	Не существует	Убывает

6. Находим вторую производную функции:

Решая уравнение

, получим ,

- это критические точки. Еще одна критическая точка .

Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы:

x						1	(1;+∞)
y”	-	0	+	0	-	Не существует	+
y	Выпукла	-2.63перегиб	Вогнута	-0.71 перегиб	Выпукла	Не существует	Вогнута

7. Учитывая результат пункта 2 и непрерывность функции при

, значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).

8. Пересечение с осью Ох:

, , точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.

9. Необходимости в дополнительных точках нет.

Задание 5

Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Произведем замену переменной:

, тогда

Проверка:

Произведем замену переменной:

, тогда

Проверка:

Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Возьмем

Применяя формулу интегрирования по частям:

, получим:

Проверка:

Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть, деля числитель на знаменатель.

Следовательно:

Разложим многочлен

.

, тогда

.

Умножим обе части этого тождества на

, получим

, тогда

. Решая эту систему, получим А=1.225; В=0.4.

Таким образом:

Проверка: